当前位置：首页 > news >正文

量化面试绿皮书：11. 最后一个球

news 来源：原创 2025/6/13 9:48:51

文中内容仅限技术学习与代码实践参考，市场存在不确定性，技术分析需谨慎验证，不构成任何投资建议。

11. 最后一个球

一个袋子里有20个蓝球和14个红球。
每次随机取出两个球(假设袋中每个球被取出的概率相等)。
你不要把这两个球放回去。
相反，如果两个球的颜色相同，则向袋子中添加一个蓝色球;
如果它们有不同的颜色，你就在袋子里加一个红球。

Q: 假设你有无限量的蓝球和红球，如果你一直重复这个过程，袋子里剩下的最后一个球是什么颜色？如果袋子里有20个蓝球和13个红球会怎样？

A: 根据给定的过程（每次随机取出两个球，如果颜色相同则添加一个蓝球，如果颜色不同则添加一个红球，不将取出的球放回），袋子里最后剩下的一个球的颜色取决于初始红球数量的奇偶性：

如果初始红球数量为偶数，则最后剩下的球是蓝球。
如果初始红球数量为奇数，则最后剩下的球是红球。

分析原因

红球的数量在操作过程中只会在取出两个红球时减少2（此时添加一个蓝球），其他情况（取出两个蓝球或一蓝一红）红球数量不变。因此，红球数量的奇偶性在整个过程中保持不变。
最终当袋中只剩一个球时，如果初始红球数为偶数，则最终红球数必须为偶数（即0），因此最后剩下蓝球；如果初始红球数为奇数，则最终红球数必须为奇数（即1），因此最后剩下红球。

具体回答

初始有20个蓝球和14个红球（红球数14为偶数）：
最后剩下的球是蓝球。
初始有20个蓝球和13个红球（红球数13为奇数）：
最后剩下的球是红球。

Python 实现

以下是使用Python实现的代码，包含一个模拟函数和一个直接判断函数，两者均基于红球数量奇偶性的数学规律实现。

import random
from typing import Tupledef simulate_last_ball(initial_blue: int, initial_red: int) -> str:"""模拟球的操作过程并返回最后一个球的颜色。根据规则反复取出两个球并添加一个球，直到只剩一个球。Args:initial_blue (int): 初始蓝球数量initial_red (int): 初始红球数量Returns:str: 'blue' 或 'red'，表示最后一个球的颜色"""blue = initial_bluered = initial_red# 当球总数大于1时持续操作while blue + red > 1:total = blue + red# 计算三种情况的概率（单位化）prob_bb = (blue * (blue - 1)) / (total * (total - 1)) if blue >= 2 else 0.0prob_rr = (red * (red - 1)) / (total * (total - 1)) if red >= 2 else 0.0prob_br = 1.0 - prob_bb - prob_rr  # 一蓝一红的概率# 生成随机数决定操作类型rand_val = random.random()# 根据随机数执行对应操作if rand_val < prob_bb:# 两个蓝球：蓝球减1（净变化）blue -= 1elif rand_val < prob_bb + prob_rr:# 两个红球：红球减2，蓝球加1blue += 1red -= 2else:# 一蓝一红：蓝球减1blue -= 1# 返回最后剩下的球（蓝球优先）return "blue" if blue > 0 else "red"def predict_last_ball(initial_blue: int, initial_red: int) -> str:"""通过红球奇偶性直接预测最后一个球的颜色。数学规律：- 初始红球为偶数 → 最后是蓝球- 初始红球为奇数 → 最后是红球Args:initial_blue (int): 初始蓝球数量（未使用）initial_red (int): 初始红球数量Returns:str: 'blue' 或 'red'"""return "blue" if initial_red % 2 == 0 else "red"def run_simulation_and_prediction(blue: int, red: int) -> Tuple[str, str]:"""执行模拟并返回两种方法的结果。Args:blue (int): 初始蓝球数量red (int): 初始红球数量Returns:Tuple[str, str]: 模拟结果, 预测结果"""sim_result = simulate_last_ball(blue, red)pred_result = predict_last_ball(blue, red)return (sim_result, pred_result)# 场景1: 20蓝球 + 14红球（红球偶数）
result1 = run_simulation_and_prediction(20, 14)
print(f"场景1 (20蓝,14红): 模拟结果={result1[0]}, 预测结果={result1[1]}")# 场景2: 20蓝球 + 13红球（红球奇数）
result2 = run_simulation_and_prediction(20, 13)
print(f"场景2 (20蓝,13红): 模拟结果={result2[0]}, 预测结果={result2[1]}")

代码说明

simulate_last_ball 函数：
- 使用概率模型模拟每次操作（避免逐球抽取）
- 计算三种情况的概率：
  - 两个蓝球：概率 = $C (蓝, 2) / C (总, 2)$
  - 两个红球：概率 = $C (红, 2) / C (总, 2)$
  - 一蓝一红：概率 = $1 - (前两者之和)$
- 根据随机数决定操作类型并更新球数
- 当只剩一个球时返回其颜色
predict_last_ball 函数：
- 基于数学规律直接判断结果：
  - 红球初始数量为偶数 → 最后是蓝球
  - 红球初始数量为奇数 → 最后是红球
测试输出：
- 场景1（20蓝+14红）：输出blue
- 场景2（20蓝+13红）：输出red

数学原理

红球数量的奇偶性在整个操作中保持不变：

取两个红球：红球减2（奇偶性不变）
取两个蓝球：红球不变
取一蓝一红：红球不变

因此最终结果仅取决于初始红球数量的奇偶性：

偶数红球 → 最后剩蓝球
奇数红球 → 最后剩红球

这道面试题的本质是考察候选人将动态随机过程抽象为数学模型的能力和识别系统不变量的洞察力，这类能力直接对应量化金融中高频交易策略优化、风险管理模型构建以及衍生品定价框架设计的核心挑战。

🔑 核心知识点

不变量识别（Invariant Analysis）
- 发现红球数量的奇偶性在操作中守恒（关键金融应用：期权定价中的无套利条件识别）
概率状态转移建模
- 将随机抽取转化为概率状态机（对应：蒙特卡洛模拟利率路径）
算法优化思维
- 避免暴力模拟，直接推导数学规律（对应：高频交易低延迟系统的优化）
边界条件处理
- 通过奇偶性判断终态（类似：衍生品到期日价值收敛分析）

📊 面试评估维度

考察维度	具体表现要求	本题对应点
抽象建模能力	将物理过程转化为数学不变量	忽略球的具体数量，聚焦红球奇偶性的守恒特性
动态系统分析	理解状态转移规则并预测长期行为	推导添加/移除球的规则如何影响系统稳态
计算效率敏感度	选择解析解而非模拟解	用 $O (1)$ 奇偶性判断取代 $O (n)$ 随机模拟
金融直觉迁移	将游戏规则映射到金融场景	识别出类似"对冲操作中多空头寸的净风险暴露"守恒原理

🧩 典型回答框架

定义关键状态变量

state = (B, R)  # B: 蓝球数量, R: 红球数量

分析操作对状态的影响

操作类型	状态变化 $(\Delta B, \Delta R)$	红球奇偶性变化 $(\Delta(R \mod 2))$
取两个蓝球	$(- 1, 0)$	0 $(\text{不变})$
取两个红球	$(+ 1, - 2)$	0 ( $\mod 2$ )
取一蓝一红	$(- 1, 0)$	0 $(\text{不变})$

推导核心不变量
数学归纳法证明：
- 初始状态： $R_0 \mod 2 = k$
- 任意操作后： $R_{t+1} \mod 2 = R_t \mod 2$
∴ 红球数量奇偶性在操作中守恒
建立终态映射
- 总球数每轮减1 → 最终必剩1球
- 终态可能：
  - $(1, 0)$ → 蓝球
  - $(0, 1)$ → 红球
- 映射规则：
  
  $\text{终态球颜色} = \begin{cases} \text{蓝} & \text{if } R_0 \mod 2 = 0 \\ \text{红} & \text{if } R_0 \mod 2 = 1 \end{cases}$
应用结论
- 场景1 (20B, 14R)： $\mod 2 = 0$ → 蓝球
- 场景2 (20B, 13R)： $\mod 2 = 1$ → 红球