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【强连通分量拓扑序】P9431 [NAPC-#1] Stage3 - Jump Refreshers|普及+

news 来源：原创 2025/6/13 6:21:35

本文涉及的知识点

C++图论

P9431 [NAPC-#1] Stage3 - Jump Refreshers

题目背景

题目描述

注意本题中 kid 的移动方式与 iw 游戏中不同（）。

kid 面前有一个无穷大的竖直二维平面。坐标系 $x$ 轴正方向为从左到右， $y$ 轴正方向为从下到上。

地图（该平面）内有 $n$ 个位置互不相同的可以无限重复使用的跳跃球。当 kid 正好位于某跳跃球位置时，他可以让 shift 键按下，然后他会瞬间上升 $d$ 格（此期间不能左右移动）。他每秒往下坠落 $1$ 格，同时每秒 kid 可以选择：向左或向右移动 1 格，或者不移动。当 kid 不在跳跃球上时他不能起跳。

上图是一个例子，蓝色区域表示 kid 在跳跃球（箭头）处起跳（ $d = 2$ ）后可以达到的区域。kid 每秒时的横纵坐标只能是整数，即：我们认为他不能达到非整点位置。

现在，kid 把存档放在了第 $c$ 个跳跃球处（即起点是第 $c$ 个跳跃球处；此时可以立即起跳）。定义 kid 的得分为他经过（即在某处起跳：显然起跳之后可以回到原位置）的不同跳跃球的个数。kid 想知道他可以最多获得多少得分（不需要（但可以）回到起点），请你告诉他吧。

再次提醒：跳跃球可以无限重复使用，即 kid 可以在某个跳跃球上无限起跳。

输入格式

本题单测试点内有多组数据。

第一行仅两个整数 $T, i d$ 表示测试数据的数量和测试点编号。特别地，样例的 $i d = 0$ 。

对于每组测试数据：

第一行三个正整数 $n, d, c$ 含义如上所述。

后 $n$ 行每行两个正整数 $x_i,y_i$ 表示第 $i$ 个跳跃球的位置。

输出格式

对于每组测试数据输出一行一个正整数表示最大得分。

输入输出样例 #1

输入 #1

输出 #1

说明/提示

【数据范围】

本题采用捆绑测试。
$\def\r{\cr\hline} \def\None{\text{None}} \def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c|c|c|c} \textbf{Subtask} & id= & \textbf{Sp. Constraints} & \textbf{Score}\r \textsf1& 1\sim3,36 & n\leqslant10,T\leqslant10 & 10 \r \textsf2& 4\sim7 & \sum n\leqslant200 & 15 \r \textsf3& 8\sim13 & \mathbf A & 25 \r \textsf4& 14\sim18 & \mathbf B & 10 \r \textsf5& 19\sim35 & - & 40 \r \end{array}$
其中 $\sum n$ 表示单测试点内所有 $n$ 的总和。

$id=1\sim3,36$ 表示 $id\in\{1,2,3,36\}$ 。

特殊性质 $\mathbf A$ ：保证对于任意不同跳跃球 $u, v$ ，如果 kid 理论上能从 $u$ 跳到 $v$ （理论上：不考虑 kid 能否从起点到达 $u$ 的问题，下同），那么他理论上一定不可以从 $v$ 跳到 $u$ 。
特殊性质 $\mathbf B$ ：保证对于任意跳跃球 $u, v$ ，如果 kid 理论上能从 $u$ 跳到 $v$ ，那么他理论上一定可以从 $v$ 跳到 $u$ 。

注意上面的“从 $u$ 跳到 $v$ "不一定非得一跳到位。比如样例 #1-2 中可以从第 $3$ 个跳到第 $5$ 个： $3\to2\to4\to5$ 。

对于 $100\%$ 的数据， $1\leqslant T\leqslant 1000$ ， $1\leqslant n\leqslant 3000$ ， $\sum n\leqslant 3000$ ， $1\leqslant d\leqslant 10^9$ ， $1\leqslant c\leqslant n$ ， $1\leqslant x_i,y_i\leqslant10^6$ ， $x_i,y_i)$ 互不相同。

【样例解释 #1-1】

$d = 2$ ，容易发现离开初始位置就上不去了。所以 kid 要么往左边碰第 $2$ 个跳跃球，得分为 $2$ ；要么往右边跳，经过第 $3$ 和第 $4$ 个跳跃球，得分为 $3$ 。

【样例解释 #1-2】

$d = 3$ ，kid 可以先往下走一圈（ $4\to3\to2\to4$ ）跳回起点，然后往右去碰第 $5$ 个球。左上角的第 $1$ 个跳跃球是碰不到的。

【样例解释 #1-3】

通过最上面那个球是可以跳到右边的。

【样例解释 #1-4】

有的人。

P9431 [NAPC-#1] Stage3 - Jump Refreshers

强连通分量拓扑序

(x,y)能否跳跃到(x1,y1) $\iff$ (x,0)和(x1,y1)的哈曼顿距离dis小于等于|y+d|。可能存在(x,y)能跳跃到(x1,y1)，(x1,y1)不能跳跃到(x,y)，故是有向边。
寻找强连通分量，缩点后，形成有向无环图G。点权=强连通分量的大小。
按拓扑序处理各节点cur。dp[cur] = cur的点权 + $\sum_{child是cur的孩子} dp[child]$
时间复杂度：O(边数)即O(nn)

代码

核心代码

#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>
#include<array>#include <bitset>
using namespace std;template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {in >> pr.first >> pr.second;return in;
}template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);return in;
}template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);return in;
}template<class T1, class T2, class T3, class T4, class T5, class T6, class T7 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4,T5,T6,T7>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t) >> get<4>(t) >> get<5>(t) >> get<6>(t);return in;
}template<class T = int>
vector<T> Read() {int n;cin >> n;vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> ret[i];}return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> ReadNotNum() {vector<T> ret;T tmp;while (cin >> tmp) {ret.emplace_back(tmp);if ('\n' == cin.get()) { break; }}return ret;
}template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> ret[i];}return ret;
}template<int N = 1'000'000>
class COutBuff
{
public:COutBuff() {m_p = puffer;}template<class T>void write(T x) {int num[28], sp = 0;if (x < 0)*m_p++ = '-', x = -x;if (!x)*m_p++ = 48;while (x)num[++sp] = x % 10, x /= 10;while (sp)*m_p++ = num[sp--] + 48;AuotToFile();}void writestr(const char* sz) {strcpy(m_p, sz);m_p += strlen(sz);AuotToFile();}inline void write(char ch){*m_p++ = ch;AuotToFile();}inline void ToFile() {fwrite(puffer, 1, m_p - puffer, stdout);m_p = puffer;}~COutBuff() {ToFile();}
private:inline void AuotToFile() {if (m_p - puffer > N - 100) {ToFile();}}char  puffer[N], * m_p;
};template<int N = 1'000'000>
class CInBuff
{
public:inline CInBuff() {}inline CInBuff<N>& operator>>(char& ch) {FileToBuf();while (('\r' == *S) || ('\n' == *S) || (' ' == *S)) { S++; }//忽略空格和回车ch = *S++;return *this;}inline CInBuff<N>& operator>>(int& val) {FileToBuf();int x(0), f(0);while (!isdigit(*S))f |= (*S++ == '-');while (isdigit(*S))x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行		return *this;}inline CInBuff& operator>>(long long& val) {FileToBuf();long long x(0); int f(0);while (!isdigit(*S))f |= (*S++ == '-');while (isdigit(*S))x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行return *this;}template<class T1, class T2>inline CInBuff& operator>>(pair<T1, T2>& val) {*this >> val.first >> val.second;return *this;}template<class T1, class T2, class T3>inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3>& val) {*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val);return *this;}template<class T1, class T2, class T3, class T4>inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3, T4>& val) {*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val) >> get<3>(val);return *this;}template<class T = int>inline CInBuff& operator>>(vector<T>& val) {int n;*this >> n;val.resize(n);for (int i = 0; i < n; i++) {*this >> val[i];}return *this;}template<class T = int>vector<T> Read(int n) {vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {*this >> ret[i];}return ret;}template<class T = int>vector<T> Read() {vector<T> ret;*this >> ret;return ret;}
private:inline void FileToBuf() {const int canRead = m_iWritePos - (S - buffer);if (canRead >= 100) { return; }if (m_bFinish) { return; }for (int i = 0; i < canRead; i++){buffer[i] = S[i];//memcpy出错			}m_iWritePos = canRead;buffer[m_iWritePos] = 0;S = buffer;int readCnt = fread(buffer + m_iWritePos, 1, N - m_iWritePos, stdin);if (readCnt <= 0) { m_bFinish = true; return; }m_iWritePos += readCnt;buffer[m_iWritePos] = 0;S = buffer;}int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;char buffer[N + 10], * S = buffer;
};class CNeiBo
{
public:static vector<vector<int>> Two(int n, const vector<pair<int, int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0){vector<vector<int>>  vNeiBo(n);for (const auto& [i1, i2] : edges){vNeiBo[i1 - iBase].emplace_back(i2 - iBase);if (!bDirect){vNeiBo[i2 - iBase].emplace_back(i1 - iBase);}}return vNeiBo;}static vector<vector<int>> Two(int n, const vector<vector<int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0){vector<vector<int>>  vNeiBo(n);for (const auto& v : edges){vNeiBo[v[0] - iBase].emplace_back(v[1] - iBase);if (!bDirect){vNeiBo[v[1] - iBase].emplace_back(v[0] - iBase);}}return vNeiBo;}static vector<vector<std::pair<int, int>>> Three(int n, vector<vector<int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0){vector<vector<std::pair<int, int>>> vNeiBo(n);for (const auto& v : edges){vNeiBo[v[0] - iBase].emplace_back(v[1] - iBase, v[2]);if (!bDirect){vNeiBo[v[1] - iBase].emplace_back(v[0] - iBase, v[2]);}}return vNeiBo;}static vector<vector<std::pair<int, int>>> Three(int n, const vector<tuple<int, int, int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0){vector<vector<std::pair<int, int>>> vNeiBo(n);for (const auto& [u, v, w] : edges){vNeiBo[u - iBase].emplace_back(v - iBase, w);if (!bDirect){vNeiBo[v - iBase].emplace_back(u - iBase, w);}}return vNeiBo;}static vector<vector<int>> Mat(vector<vector<int>>& neiBoMat){vector<vector<int>> neiBo(neiBoMat.size());for (int i = 0; i < neiBoMat.size(); i++){for (int j = i + 1; j < neiBoMat.size(); j++){if (neiBoMat[i][j]){neiBo[i].emplace_back(j);neiBo[j].emplace_back(i);}}}return neiBo;}
};class CBFSLeve {
public:static vector<int> Leve(const vector<vector<int>>& neiBo, vector<int> start) {vector<int> leves(neiBo.size(), -1);for (const auto& s : start) {leves[s] = 0;}for (int i = 0; i < start.size(); i++) {for (const auto& next : neiBo[start[i]]) {if (-1 != leves[next]) { continue; }leves[next] = leves[start[i]] + 1;start.emplace_back(next);}}return leves;}template<class NextFun>static vector<int> Leve(int N, NextFun nextFun, vector<int> start) {vector<int> leves(N, -1);for (const auto& s : start) {leves[s] = 0;}for (int i = 0; i < start.size(); i++) {auto nexts = nextFun(start[i]);for (const auto& next : nexts) {if (-1 != leves[next]) { continue; }leves[next] = leves[start[i]] + 1;start.emplace_back(next);}}return leves;}static vector<vector<int>> LeveNodes(const vector<int>& leves) {const int iMaxLeve = *max_element(leves.begin(), leves.end());vector<vector<int>> ret(iMaxLeve + 1);for (int i = 0; i < leves.size(); i++) {ret[leves[i]].emplace_back(i);}return ret;};static vector<int> LeveSort(const vector<int>& leves) {const int iMaxLeve = *max_element(leves.begin(), leves.end());vector<vector<int>> leveNodes(iMaxLeve + 1);for (int i = 0; i < leves.size(); i++) {leveNodes[leves[i]].emplace_back(i);}vector<int> ret;for (const auto& v : leveNodes) {ret.insert(ret.end(), v.begin(), v.end());}return ret;};
};class CSCCTarjan {
public:CSCCTarjan(vector<vector<int>>& neiBo) :m_neiBo(neiBo) {const int N = neiBo.size();m_vTime.assign(N, -1);m_vBack.assign(N, -1);m_vIsStack.assign(N, false);for (int i = 0; i < N; i++) {DFS(i);}}void InitPtNew() {m_ptNew.resize(m_neiBo.size());iota(m_ptNew.begin(), m_ptNew.end(), 0);for (auto& v : m_sccs) {nth_element(v.begin(), v.begin(), v.end());m_v0.emplace_back(v[0]);for (int i = 1; i < v.size(); i++) {m_ptNew[v[i]] = v[0];}}}vector<vector<int>> GetNewNeiBo() {vector<vector<int>> neiBo(m_neiBo.size());for (int i = 0; i < neiBo.size(); i++) {const int n1 = m_ptNew[i];unordered_set<int> s;for (const auto& next : m_neiBo[i]) {const int n2 = m_ptNew[next];if (n1 == n2) { continue; }//自环s.emplace(n2);}neiBo[n1].insert(neiBo[n1].begin(), s.begin(), s.end());}return neiBo;}vector<vector<int>> m_sccs;vector<int> m_v0, m_ptNew;
protected:void DFS(int cur) {if (-1 != m_vTime[cur]) { return; }m_vTime[cur] = m_vBack[cur] = m_iTimes++;m_vIsStack[cur] = true;m_sta.emplace(cur);for (const auto& next : m_neiBo[cur]) {if (-1 == m_vTime[next]) {DFS(next);m_vBack[cur] = min(m_vBack[cur], m_vBack[next]);}else if (m_vIsStack[next]) {m_vBack[cur] = min(m_vBack[cur], m_vTime[next]);}}if (m_vTime[cur] != m_vBack[cur]) { return; }vector<int> scc;while (m_sta.size()){auto u = m_sta.top(); m_sta.pop();scc.emplace_back(u);m_vIsStack[u] = false;if (cur == u) { break; }}m_sccs.emplace_back(scc);}vector<vector<int>>& m_neiBo;int  m_iTimes = 0;vector<int> m_vTime, m_vBack;vector<bool> m_vIsStack;stack<int> m_sta;
};class CDGTopSort
{
public:template <class T = vector<int> >CDGTopSort(const vector<T>& vNeiBo) :m_vDeg(vNeiBo.size()), m_neiBo(vNeiBo) {const int N = vNeiBo.size();m_backNeiBo.resize(N);for (int cur = 0; cur < N; cur++){m_vDeg[cur] = vNeiBo[cur].size();for (const auto& next : vNeiBo[cur]){m_backNeiBo[next].emplace_back(cur);}}}void Init() {auto Add = [&](int i) {if (0 != m_vDeg[i]) { return; }m_que.emplace(i);};for (int i = 0; i < m_vDeg.size(); i++){Add(i);}while (m_que.size()){const int cur = m_que.front(); m_que.pop();if (!OnDo(cur)) { continue; }for (const auto& next : m_backNeiBo[cur]){m_vDeg[next]--;Add(next);}};}queue<int> m_que;vector<int> m_vDeg;vector<int> m_vSort;
protected:const vector<vector<int>>& m_neiBo;vector<vector<int>> m_backNeiBo;virtual bool OnDo(int cur) {m_vSort.emplace_back(cur);return true;};
};class Solution {
public:int Ans(const int D, int C, vector<pair<int, int>>& xy) {const int N = xy.size();vector<vector<int>> neiBo(N);for (int i = 0; i < N; i++) {for (int j = 0; j < N; j++) {if (abs(xy[i].first - xy[j].first) + abs(xy[j].second) <= xy[i].second + D) {neiBo[i].emplace_back(j);}}}CSCCTarjan scc(neiBo);scc.InitPtNew();vector<int> pw(N);for (const auto& v : scc.m_sccs) {for (const auto& i : v) {pw[i] = v.size();}}vector<int> ans = pw;auto neiBo2 = scc.GetNewNeiBo();CDGTopSort topSort(neiBo2);topSort.Init();for (const auto& cur : topSort.m_vSort) {for (const auto& child : neiBo2[cur]) {ans[cur] = max(ans[cur], ans[child] + pw[cur]);}}return ans[scc.m_ptNew[C - 1]];}
};int main() {
#ifdef _DEBUGfreopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUG	ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(nullptr);//CInBuff<> in; COutBuff<10'000'000> ob;int N,D,C,T,id;cin >> T >> id;for (int i = 0; i < T; i++){cin >> N >> D >> C;auto edge = Read<pair<int, int>>(N);
#ifdef _DEBUG	printf("D=%d,C=%d", D,C);//Out(ws, ",ws=");Out(edge, ",edge=");
#endif // DEBUG	auto res = Solution().Ans(D,C, edge);cout << res << "\n";}return 0;
};

单元测试

		int D,C;vector<pair<int, int>> edge;TEST_METHOD(TestMethod01){D = 2, C = 1, edge = { {2,4},{1,1},{5,2},{4,1} };auto res = Solution().Ans(D,C, edge);AssertEx(3, res);}TEST_METHOD(TestMethod02){D = 3, C = 4, edge = { {1,7},{2,4},{3,2},{4,5},{8,2} };auto res = Solution().Ans(D, C, edge);AssertEx(4, res);}TEST_METHOD(TestMethod03){D = 1, C = 2, edge = { {1,1},{1,2},{1,3},{4,1} };auto res = Solution().Ans(D, C, edge);AssertEx(4, res);}TEST_METHOD(TestMethod04){D = 2, C = 1, edge = { {1,1},{4,1},{1,4},{4,4} };auto res = Solution().Ans(D, C, edge);AssertEx(1, res);}

扩展阅读

我想对大家说的话
工作中遇到的问题，可以按类别查阅鄙人的算法文章，请点击《算法与数据汇总》。
学习算法：按章节学习《喜缺全书算法册》，大量的题目和测试用例，打包下载。重视操作
有效学习：明确的目标及时的反馈拉伸区（难度合适）专注
闻缺陷则喜(喜缺)是一个美好的愿望，早发现问题，早修改问题，给老板节约钱。
子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛
失败+反思=成功成功+反思=成功