高等数学》（同济大学·第7版）第二章第一节“导数的概念“

​一、导数的定义与核心思想​

​1. 通俗解释​
导数就像“数学放大镜”，用来观察函数在某一点瞬间的变化快慢。比如：

• 汽车仪表盘显示的瞬时车速​（不是平均车速）
• 股票分时图的瞬间涨跌速度​

​2. 数学定义​
对于函数 y = f(x)，在点 x₀ 处的导数定义为：
f'(x₀) = lim(Δx→0) [f(x₀ + Δx) - f(x₀)] / Δx
​关键点​：

• Δx 是微小的变化量（如0.0001秒）
• 极限表示“无限逼近”真实变化率

​3. 几何意义​
导数 = 函数图像在该点的切线斜率​

---

​二、AI与量化中的实际应用​

​1. AI中的应用​

• ​神经网络训练（梯度下降）​​

  • 场景：调整参数让误差最小化
  • 用到的导数知识：误差函数对参数的导数（即梯度）
  • 举例：

    损失函数L(w) = (w·x - y)^2 的导数

    def gradient(w, x, y):
    return 2 * (w * x - y) * x # 这里用到了幂函数求导法则

• ​自动驾驶（运动预测）​​

  • 场景：通过车辆位置数据计算瞬时速度
  • 用到的导数知识：位移对时间的导数

​2. 量化金融中的应用​

• ​期权定价（希腊字母）​​

  • 场景：计算期权价格对股价的敏感度（Delta）
  • 用到的导数知识：价格函数对股价的导数
  • 公式：Delta = ∂(期权价格)/∂(股价)

• ​风险控制（波动率计算）​​

  • 场景：通过价格变动速度预测风险
  • 用到的导数知识：收益率序列的导数（即加速度）

---

​三、必须掌握的求导公式​

函数类型	求导公式	应用场景举例
常数函数	C' = 0	固定收益产品的利率变化
幂函数	(x^n)' = n*x^(n-1)	神经网络中的权重更新
指数函数	(e^x)' = e^x	复利计算/人口增长模型
对数函数	(lnx)' = 1/x	信息熵计算（决策树算法）

---

​四、新手常见误区​

1. ​混淆"可导"与"连续"​​

   • 反例：f(x) = |x| 在 x=0 处连续但不可导
   • AI中的体现：ReLU激活函数在0点的特殊处理

2. ​忽略定义域​

   • 错误案例：对 ln(x) 在 x ≤ 0 时求导

3. ​机械套用公式​

   • 典型错误：(e^(2x))' 忘记链式法则（正确答案是 2e^(2x)）

---

​单侧导数与可导条件详解​

​一、单侧导数的定义​

1. ​左导数​
   函数f(x)在点x₀处的左导数定义为：
   f'₋(x₀) = lim(Δx→0⁻) [f(x₀ + Δx) - f(x₀)] / Δx
   （Δx从负方向趋近于0）

2. ​右导数​
   函数f(x)在点x₀处的右导数定义为：
   f'₊(x₀) = lim(Δx→0⁺) [f(x₀ + Δx) - f(x₀)] / Δx
   （Δx从正方向趋近于0）

​二、可导的充要条件​

函数f(x)在x₀处可导 ⇔ 同时满足：

1. 左导数f'₋(x₀)存在
2. 右导数f'₊(x₀)存在
3. f'₋(x₀) = f'₊(x₀)

​三、典型案例分析​

1. ​**绝对值函数f(x) = |x|**​

   • 在x=0处：
     • 左导数f'₋(0) = lim(Δx→0⁻) [|Δx| - 0]/Δx = -1
     • 右导数f'₊(0) = lim(Δx→0⁺) [|Δx| - 0]/Δx = +1
   • 结论：在x=0处不可导（左右导数不相等）

2. ​分段函数示例​
   f(x) = { x² (x ≤ 1)
   { 2x-1 (x > 1)

   • 在x=1处：
     • 左导数f'₋(1) = 2
     • 右导数f'₊(1) = 2
   • 结论：在x=1处可导（左右导数相等）

​四、应用场景​

1. ​AI中的ReLU激活函数​
   f(x) = max(0,x)

   • 在x=0处：
     • 右导数=1
     • 左导数=0
   • 处理方式：在反向传播时默认取右导数

2. ​量化金融中的价格跳空​

   • 当价格出现跳空缺口时：
     • 左导数（缺口前最后一刻的价格变化率）
     • 右导数（缺口后第一刻的价格变化率）
   • 交易策略：当左右导数差异超过阈值时触发风控

​五、重要结论​

1. 可导必连续，连续不一定可导
2. 尖点（如|x|的顶点）一定不可导
3. 分段函数在分段点必须单独验证可导性

​六、验证方法​

1. 先检查函数在该点是否连续
2. 分别计算左右导数
3. 比较两者是否相等