为什么说数列是特殊的函数

前情概要

高三的学生几乎都听老师说过，数列是特殊的函数，那么如何理解这句话呢，无外乎需要关注两点：①函数性，②特殊性，以下举例说明，帮助各位学子理解。

函数特性

既然是按照一定的次序排列而成的一列数字，那么这些数字($a_n$)自然就是次序$n$的函数，所以我们学习数列时，首先就应该从函数的角度体会这个特殊的数学素材，即$a_n=f(n)$。不过和以前我们学习的函数有点不一样，比如$f(x)=2x^2-3x+1，x\in [-2，16]$，其图像是区间$[-2，16]$上的连续曲线，没有间断的，而数列$a_n=2n^2-3n+1$，她的图像是一些离散的点，这些点并不能连成曲线，原因是自变量$n$的取值不是连续取值，意思是当$n=3$后，只能取$n=4$，不能取$n=3.01$或$n=3.5$等这些值。

特殊之处

其特殊性体现在以下几个方面：

其一、定义域比较特殊，数列的定义域是正整数集$N^{\ast }$或者正整数集的有限子集 { 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， n } \{1，2，3，\cdots，n\} {1，2，3，⋯，n}，注意数列中没有$a_0$项；

其二、以比较特殊的数列为例，比如二次型的数列的最值和二次函数不一样；

其三、以比较特殊的数列为例，比如二次型的数列的单调性和二次函数不一样；

典例剖析

例1、已知$a>0$，数列 { a n } \{a_n\} {an​}满足$a_n=\{\begin{array}{l}(3-a)n-3，n\le 7\\ a^{n-6}，n>7\end{array}$，数列 { a n } \{a_n\} {an​}是单调递增数列，求$a$的取值范围。

考点：数列的单调性，分段函数，数列与分段函数的交汇

分析：由题目可知，$\{\begin{array}{l}3-a>0，\\ a>1，\\ (3-a)7-3<a^{8-6}，\end{array}$，解得：$a\in (2，3)$

感悟反思：1、如果是一般的函数$f(x)$，则比较点$A$和点$C$的函数值的大小关系；现在是分段数列，那么我们需要比较的是点$A$和点$B$的函数值的大小关系；

例2、已知$a>0$，函数$f(x)$满足$f(x)=\{\begin{array}{ll}(3-a)x-3& x\le 7\\ a^{x-6}& x>7\end{array}$，函数$f(x)$在$R$上单调递增，求$a$的取值范围。

分析：由题目可知，$\{\begin{array}{ll}& 3-a>0①\\ & a>1②\\ & (3-a)7-3\le a^{7-6}③\end{array}$；即$\{\begin{array}{ll}& a<3\\ & a>1\\ & a\ge \frac{9}{4}\end{array}$

解得：$a\in [\frac{9}{4}，3)$；

反思：1、本题目常犯的错误是缺少第三条的限制；学生常认为函数在两段上分别单调递增，则在整体定义域$R$上一定单调递增，这个认知是错误的。原因是前者是后者的必要不充分条件。

2、防错秘籍：既要保证每段上的单调性，还要保证转折点处的单调性。

例3、已知数列 { a n } \{a_n\} {an​}中，$a_n=n^2-kn(k\in N)$，且 { a n } \{a_n\} {an​}单调递增，则$k$的取值范围为【 】

$A.(-\infty ，2]$ $B.(-\infty ，3)$ $C.(-\infty ，2)$ $D.(-\infty ，3]$

考点：数列的单调性，二次函数的对称性和单调性，恒成立命题

【法1】：利用数列单调性的一般定义求解；

由于$a_n=n^2-kn(n\in N^{\ast })$，且 { a n } \{a_n\} {an​}单调递增，

所以$a_{n+1}-a_n>0$对$\forall n\in N\ast$都成立，

又$a_{n+1}-a_n=(n+1{)}^2-k(n+1)-n^2+kn=2n+1-k$，所以由$2n+1-k>0$，

即$k<2n+1$恒成立，可知$k<(2n+1{)}_{min}=3$.

【法2】：借助数列对应的二次函数独特性质，如对称性和单调性求解

$a_n=(n-\frac{k}{2}{)}^2-\frac{k^2}{4}$，其对称轴是$n=\frac{k}{2}$，

要使得 { a n } \{a_n\} {an​}单调递增，

则必须且只需$\frac{k}{2}<\frac{3}{2}$，解得$k<3$，故选B。

【法3】：使用导数法求解，

由$a_n=f(n)=n^2-kn$为单调递增数列，则$f^{\prime }(n)\ge 0$在$n\in N^{\ast }$上恒成立，

即$f^{\prime }(n)=2n-k\ge 0$在$n\in N^{\ast }$上恒成立，分离参数得到，

$k\le 2n$在$n\in N^{\ast }$上恒成立，即$k\le (2n{)}_{min}=2$，

则$k\le 2$。这个解法是错误的。

【错因分析】：若数列$a_n=f(n)$单调递增，但函数$y=f(x)$不一定单调递增；但是若函数$y=f(x)$单调递增，则其对应的数列$a_n=f(n)$必然单调递增。

感悟反思：1、法1转化为恒成立问题，很好理解；2、法2很容易错解为 $\frac{k}{2}<1$，故$k<2$，其实这是充分不必要条件，也就是说遗漏了一部分的解集，可以看看上面的图像解释。

例4、已知数列 { a n } \{a_n\} {an​}满足 $a_{n+1}=a_n+2n$，且$a_1=33$，则$\frac{a_n}{n}$的最小值为 【 】

$A.21$ $B.10$ $C.\frac{21}{2}$ $D.\frac{17}{2}$

考点：数列的单调性，对勾函数的单调性，

分析：选 C。由已知条件可知，当$n\ge 2$ 时，

$a_n=a_1+(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+\cdots +(a_n-a_{n-1})=33+2+4+\dots +2(n-1)$

$=n^2-n+33$， 又$n=1$时，$a_1=33$，满足此式。

所以$\frac{a_n}{n}=n+\frac{33}{n}-1$

令$f(n)=\frac{a_n}{n}=n+\frac{33}{n}-1$，则$f(n)$在$[1，5]$上为减函数，

在$[6,+\infty )$上为增函数，又$f(5)=\frac{53}{5}$，$f(6)=\frac{21}{2}$，则$f(5)>f(6)$，故$f(n)=\frac{a_n}{n}$的最小值为$\frac{21}{2}$ 。

感悟反思：1、对勾函数的单调性我们必须掌握的非常清楚。2、参考阅读对勾函数

例5、已知等比数列 { a n } \{a_n\} {an​}的前$n$项和为$S_n=a\cdot 2^{n-1}+\frac{1}{6}$，则$a$的值为 【 】

$A.-\frac{1}{3}$ $B.\frac{1}{3}$ $C.-\frac{1}{2}$ $D.\frac{1}{2}$

考点：等比数列的前$n$项和的性质，数列的函数特性

分析：选 A.

法1：当$n\ge 2$ 时，$a_n=S_n-S_{n-1}=a\cdot 2^{n-1}-a\cdot 2^{n-2}=a\cdot 2^{n-2}，$

当$n=1$时，$a_1=S_1=a+\frac{1}{6}$，

又由于$n=2$时，$a_2=a\cdot 2^{2-2}=a$，公比为$q=\frac{a_n}{a_{n-1}}=2$，故$a_1=\frac{a}{2}$

所以$a+\frac{1}{6}=\frac{a}{2}$，所以$a=-\frac{1}{3}$。选 A.

法2：将$S_n=a\cdot 2^{n-1}+\frac{1}{6}$变形为$S_n=\frac{1}{2}a\cdot 2^n+\frac{1}{6}$，由引例可知，$\frac{1}{2}a+\frac{1}{6}=0$，解得$a=-\frac{1}{3}$。选 A.

感悟反思：1、等比数列的前$n$项和的性质引申：

【引例】已知等比数列的前$n$项和$S_n=r\cdot 2^n-1$，则$r=1$。

原因分析：由于等比数列的前$n$项和$S_n=\frac{a(1-q^n)}{1-q}=\frac{a}{1-q}\times (1-q^n)$，

如果令$\frac{a}{1-q}=-c$，则等比数列的前$n$项和$S_n=c{q}^n-c$.由此可得，题目中的$r=1$.

例6、已知$a_n=\frac{n-4}{n-\frac{9}{2}}$，求数列 { a n } \{a_n\} {an​}的最小项和最大项；

分析：我们依托数列所对应的函数$f(x)=\frac{x-4}{x-\frac{9}{2}}=\frac{2x-8}{2x-9}=\frac{2x-9+1}{2x-9}=1+\frac{1}{2x-9}$

做出其图像，其对称中心为点$(4.5，1)$，

由图可知，当$n⩽4$时，数列 { a n } \{a_n\} {an​}单调递减，且有$1>a_1>a_2>a_3>a_4$；

当$n⩾5$时，数列 { a n } \{a_n\} {an​}单调递减，且有$a_5>a_6>a_7>\cdots >1$；

故数列 { a n } \{a_n\} {an​}的最小项为$a_4$，最大项为$a_5$；

例7、已知数列 { a n } \{a_n\} {an​}的通项为$a_n=(n+1)(\frac{10}{11}{)}^n$，$n\in N^{\ast }$，

①求证：数列 { a n } \{a_n\} {an​}先递增后递减；

证明：由于$a_n=(n+1)(\frac{10}{11}{)}^n$，则$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{10}{11}(1+\frac{1}{n+1})$

而函数$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{10}{11}(1+\frac{1}{n+1})$是单调递减的，

令$\frac{10}{11}(1+\frac{1}{n+1})=1$，解得$n=9$，即$a_9=a_{10}$；

令$\frac{10}{11}(1+\frac{1}{n+1})>1$，解得$n<9$，即当$n⩽8$时，$a_{n+1}>a_n$；

令$\frac{10}{11}(1+\frac{1}{n+1})<1$，解得$n>9$，即当$n⩾10$时，$a_{n+1}<a_n$；

故数列 { a n } \{a_n\} {an​}先递增，后递减；

②求数列 { a n } \{a_n\} {an​}的最大项；

分析：由上述分析可知，$a_1<a_2<a_3<\cdots <a_8<a_9=a_{10}>a_{11}>a_{12}>a_{13}>\cdots$，

故最大项为$a_9=a_{10}$;

例8、已知数列 { a n } \{a_n\} {an​} 的前 $n$ 项的和为 $S_n$，首项 $a_1=2$，且满足 $a_{n+1}$$=$$\frac{a_n-1}{a_n+1}$，求 $S_{2025}$ .

解法1️⃣：通过计算数列的前有限项，发现其周期性；

当 $n=1$ 时，将 $a_1=2$ 代入 $a_{n+1}$$=$$\frac{a_n-1}{a_n+1}$，求得 $a_2=\frac{1}{3}$；

当 $n=2$ 时，将 $a_2=\frac{1}{3}$ 代入 $a_{n+1}$$=$$\frac{a_n-1}{a_n+1}$，求得 $a_3=-\frac{1}{2}$；

当 $n=3$ 时，将 $a_3=-\frac{1}{2}$ 代入 $a_{n+1}$$=$$\frac{a_n-1}{a_n+1}$，求得 $a_4=-3$；

当 $n=4$ 时，将 $a_4=-3$ 代入 $a_{n+1}$$=$$\frac{a_n-1}{a_n+1}$，求得 $a_5=2$；

当 $n=5$ 时，将 $a_5=2$ 代入 $a_{n+1}$$=$$\frac{a_n-1}{a_n+1}$，求得 $a_6=\frac{1}{3}$；

$\cdots$，$\cdots$，$\cdots$，

故数列的周期为 $T=4$，计算 $a_1+a_2+a_3+a_4=-\frac{7}{6}$，

故 $S_{2025}=506(a_1+a_2+a_3+a_4)+a_{2025}=506(a_1+a_2+a_3+a_4)+a_1=\frac{1777}{3}$

解法2️⃣：注意到 $a_{n+1}$$=$$\frac{a_n-1}{a_n+1}$ 的结构和$f(x+1)$$=$$\frac{f(x)-1}{f(x)+1}$ 的结构非常类似，我们在学习数列时老师多次强调数列是特殊的函数，故依托 $a_n=f(n)$ 思考变形如下:

对已知条件做简单的变形，相当于已知 $f(n+1)$$=$$\frac{f(n)-1}{f(n)+1}$，

则 $f(n+2)=f[(n+1)+1]=\frac{f(n+1)-1}{f(n+1)+1}=\frac{\frac{f(n)-1}{f(n)+1}-1}{\frac{f(n)-1}{f(n)+1}+1}$$=$$\frac{-2}{2f(n)}$$=$$-\frac{1}{f(n)}$，

故 $f(n+4)=f[(n+2)+2]=-\frac{1}{f(n+2)}=-\frac{1}{-\frac{1}{f(n)}}=f(n)$，故 $T=4$；

即数列 { a n } \{a_n\} {an​} 是周期为 $4$ 的数列。其余求解同上，不再赘述。

例9、已知数列 { a n } \{a_n\} {an​}满足$a_{n+1}{a}_{n-1}=a_n(n\ge 2)$，且$a_1=1，a_2=3$，则$a_{2016}$的值为____________.

法1：利用递推关系推导出数列的前有限项，

$a_1=1，a_2=3，a_3=\frac{a_2}{a_1}=3，a_4=\frac{a_3}{a_2}=1$，

$a_5=\frac{a_4}{a_3}=\frac{1}{3}，a_6=\frac{a_5}{a_4}=\frac{1}{3}，a_7=\frac{a_6}{a_5}=1$，

周期$T=6$，所以$a_{2016}=a_6=\frac{1}{3}$.

法2：由$a_{n+1}=\frac{a_n}{a_{n-1}}$可得，$a_{n+2}=\frac{a_{n+1}}{a_n}$，

两式相乘得到$a_{n+2}=\frac{1}{a_{n-1}}$，即$a_{n+3}=\frac{1}{a_n}$，

$a_{n+6}=a_{[(n+3)+3]}=\frac{1}{a_{n+3}}=a_n$，

故周期$T=6$，其余仿上完成。