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数据结构（8）树-二叉树

news 来源：原创 2025/6/6 12:29:10

一、用二叉链表实现二叉树

堆的特性（完全二叉树）使得底层用数组来实现更加容易，而正常我们的二叉树肯定用链表就可以减少空间的浪费，在这里我们写的只是一般的树及其相关操作，因此就用二叉链表实现。

1.二叉树结点

二叉链表所示，类似于链表，我们写二叉树的结构肯定是立足于结点，结点内容如上图所示：

data不用多解释，两个指针是因为指向的同样是二叉树的一个结点，所以给出的类型就是结点类型的指针。

2.创建一棵二叉树

BuyNode方法不必多说：

接着就给出一棵二叉树：

由于后面的操作都是基于这棵树，所以索性初始化的时候就按照这棵树来：

经测试符合要求。

二、二叉树相关操作

1.注意

二叉树，或者说我们这里一般的二叉树就不进行插入删除操作的实现，因为是在太复杂，就是说，一棵树的删除，你可以去删除任意的结点，比如说删除，free倒还好，free完以后二叉树的结构怎么办？或者说插入，任意位置都可以插入，插入以后结构怎么办，谁会知道。

这就是一般二叉树我们不做的操作，后面比如平衡树，左右子树高度差不能超过1，比如：

左子树深度为2，右子树深度为1，这么看好像不平衡一样，所以它的插入和删除都是有迹可循的，也就是结构的改变可以兼顾到，所以这里我们不做插入和删除操作。

2.二叉树的遍历

①概念及分类

我们后面的任意操作，比如查找，比如计算结点的总数等，光想想肯定都得遍历，所以这样就不得不学会遍历二叉树。

二叉树的遍历分为三种：先序遍历，中序遍历，后序遍历。

或者说先根遍历，中根遍历，后根遍历。

后面这种说法可能更适合理解这几种遍历的区别：
先根遍历，就是先遍历根结点，再遍历左子树，再遍历右子树（子树也是这样的规律）。（根左右）

中根遍历，就是先遍历左子树，再遍历根结点，再遍历右子树（子树也是这样的规律）。（左根右）

后根遍历，就是先遍历左子树，再遍历右子树，再遍历根结点（子树也是这样的规律）。（左右根）

不管哪种遍历方式，肯定是先左子树再右子树，这个毋庸置疑。

②先序遍历

比如把我们创建的二叉树拿过来：

如果先序遍历就是（下面以红色表示向下寻找，绿色表示向上回溯）：

从二叉树的根结点开始，A为根，就先遍历A（根），再遍历左子树，当然，左子树也得按照先序遍历的顺序（根左右）来：

那接下来就是遍历B，有左子树，再转到左子树：

一样道理，遍历完B以后就继续找左子树：

只不过这次遍历到空结点了，空结点报没有子树的，这个时候就该回溯到根结点，遍历右结点：

可见还是为空，那遍历完就该回溯：

并且发现D的根左右都遍历过了，继续回溯，B的左子树遍历完毕，接下来就是B的右子树：

遍历完继续回溯，现在A（根），A的左子树都遍历完毕，接下来就是A的右子树，还是一样的道理，不再说了，直接给出最后的遍历顺序：

其中N表示NULL。

代码实现：

代码很简单，原因是使用了递归：递归使用是在情况相似，比如数列的前一项和后一项的递推公式，或者了解递推时举的阶乘的例子（每次都是*n-1）；递归代码实现需要回溯，而我们二叉树遍历的思路很好的照应了这一点，即以某一结点为根结点，根结点自己都是NULL，那么肯定没有孩子，只能返回上次遍历根结点进行下次操作，这就是回溯；第一个printf遍历了根的数据，下面分别是以根的左结点为根展开的子树，实际操作和最开始根相同，所以运用递归，还有以根的右结点为根展开的子树，道理相同，借助函数画出图是这样的：

从右子树回来以后已经把所有递推的函数回归完毕，所以先序遍历结束，测试代码有：

③中序遍历

再解释一下中序遍历，后序遍历直接就给出了。

中序遍历实际上是左根右，也就是有左子树就疯狂往下找左子树，直到碰到NULL之后就回溯：

很明显直到碰到D的左子树的NULL才停止寻找，并且返回上一层根结点（D），所以遍历的结点就是N ，根左子树遍历完毕以后就是遍历根自己，也就是D，最后遍历右子树N，以D为根结点的B的左子树遍历完毕就遍历根本身，就是B，然后右子树N，又使以B为根结点A的左子树遍历完毕，在图上就是：

右子树同样要左右根，不再赘述，直接给出：

代码：

左根右已经体现，测试代码：

④后序遍历

代码：

测试代码：

3.二叉树结点个数

遍历的时候发现递归来遍历二叉树是真舒服，所以计算结点个数还是想想怎么往递归靠。

容易想到，每遍历到一个不为空的结点就++呗：

一弄懵逼了，一看就看出来哪错了，size我们在计算的时候，每创建一个函数栈帧，size都是重定义为0，是空返回0，不空返回1，但是新创建的函数栈帧的1并不会累加到这次展开的函数栈帧，如：

发现return并没有对size产生影响，因为size是局部变量，值的改变不改变原来的结果。

可能有的人就想说，干成全局变量（或者static修饰）不完了：

这时候再运行：

我可不说大功告成，全局变量每次都不变，所以如果多次调用：

原因很简单，全局变量值不销毁，出函数也存在，除非手动置空，但是我们size放在实现文件里，很明显，在运用我们实现的操作前，用户并不知道还得手动置空，也不知道我们用的记录的变量是size，所以核心还是做到新创建的函数栈帧对原来的函数栈帧产生影响，因此就这么写：

当然，更简单的就是：

公式就是自己+左子树结点个数+右子树结点个数，其实还挺好理解的。

同样测试：

4.二叉树叶子结点个数

叶子结点是左孩子和右孩子全为空的结点（当然，自己不能为空才能解引用）：

思路还是算左右子树叶子结点个数，当然，如果只有根结点的树就得返回1，刚好和找到不止只有根结点的二叉树判断条件相同，而且答案也符合要求。

可以说体会到递归的强大了。

测试代码：

拉过来树：

一点没毛病，完美。

5.二叉树第k层结点个数

第k层肯定得作为一个参数，则这个操作的实现至少两个参数，一个参数是树的根结点，一个参数是第k层，如何实现呢，比如第3层：

遍历顺序肯定无所谓了，甭管怎么遍历，反正最后你得给我计算出来第三层的所有非空结点个数，计数还是同理，每碰到一层让k--，直到k == 1说明已经到需要计数的层了，如果这个结点不为空返回1即可。

可见我们思路还是从最开始的树出发，计算左子树第k层结点个数，计算右子树第k层结点个数，判断到没到达第k层就看传过去的是不是1。

测试代码：

6.二叉树的高度/深度

其实查找深度基本上算是找那棵树的深度最大，一条路径遍历到底部的标志显然就是root->left == NULL&&root->right==NULL，说人话就是查找到一个子树的叶子结点为止，而且很重要的是最终肯定要取最大值，公式大概是根结点左子树深度与右子树深度最大值+1（因为根结点也要算上）：

测试代码：

7.二叉树查找值为x的结点

还是说查找免不了遍历，遍历顺序其实想了想也没啥要求，反正查找到就返回，查找不到返回NULL，还是用递归的思路，根不是就查找子树，返回值很明显是二叉树结点类型：

这么写倒是挺符合思路的，但是一测试：

说明出bug了，但是我仔细想了想好像没啥毛病，索性直接就调试，由于递归的调试结果实在不好展示，就不再写了，大概就是只能一条路走到黑：

顺着这样的代码走下去，只能走二叉树最左边的那条路，如果遍历到空，直接return了，原因就在于第一次写出来的代码很明显根本没有递归出去，因为在左子树和右子树查找的过程中根本就没有管返回值，这样的话，并不是遍历完整棵树或者找到目标结点而停止递归。

观察到找到目标结点时指针非空，索性判断一下子树的返回值：

测试代码：

8.二叉树的销毁

遍历完二叉树的结点，一个一个free掉，不过这次可就要求顺序了，因为我们构建二叉树用的二叉链表，二叉链表只包含两个孩子的指针，也就是说，如果free掉根结点先，那么肯定就会把它的孩子结点给漏去，因此采用类似于后序遍历的方式，最后free根。

代码：

最需要注意的点就是，因为函数形参的改变要影响实参，那这里不能再传root存的二叉树根结点的值，而是传二叉树根结点的地址，以便于到时候通过这个二级指针proot可以真正修改掉一级指针root。

测试代码：

三、二叉树的特殊遍历及其应用

1.层序遍历

在二叉树相关操作中我们见识过了前中后序遍历二叉树，前中后代表的是根结点在左右子树遍历中的顺序，层序遍历正如这个名字，从上到下从左到右一层一层遍历二叉树的结点即可，仍然举上面的例子：

也就是说，层序遍历就是：ABCDEF

说着容易，写代码难，我们在上面做的那些都是借助递归，一条一条路去遍历，类似于这样：

返回不再演示。

但是现在要做到这样：

直接给出结论了，我们需要借助数据结构——队列。

简单回忆一下队列的特性，队尾进队头出，所以我们需要弄清楚什么顺序入队列和出队列才能做好层序遍历。

当然免不了把我们实现过的队列的代码拿过来：

需要修改的就是队列存放的元素类型，很明显，我们到时候遍历拿到的都是结点的地址，即BTNode类型的。

但由于typedef的特别，不能直接写BTNode，如果这么写了，编译器不知道你写的是什么（其实这一点我也不知道为什么，姑且认为编译器没那么智能，最会识别就是结构体算了）需要带上struct，写成struct编译器知道是重命名一个结构体变量才能老老实实的找和替换（改名前改名后都可以，即：struct BinaryTreeNode*或struct BTNode*，重点是struct关键字）。

毋庸置疑的是，我们最开始肯定得让树的根结点入队列：