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量化面试绿皮书：1. 海盗分金博弈

news 来源：原创 2025/6/3 16:39:59

文中内容仅限技术学习与代码实践参考，市场存在不确定性，技术分析需谨慎验证，不构成任何投资建议。

1. 海盗分金博弈

五个海盗抢走了一个装满 100 枚金币的箱子。作为一群民主的海盗，他们同意以下分配战利品的方法:最资深的海盗将提议分配硬币。所有的海盗，包括最资深的海盗，都会进行投票。如果至少50%的海盗(在本例中为3名海盗)接受提议，则黄金按提议进行分配。如果没有，则将最高级的海盗喂给鲨鱼，然后从下一个最高级的海盗开始这个过程.…重复这个过程，直到一个计划被批准。你可以假设所有的海盗都是完全理性的：他们首先想活下去，其次是获得尽可能多的金子。最后，作为嗜血的海盗，如果在其他方面均等的结果之间做出选择，他们希望船上的海盗更少。

Q: 金币最终将如何分配?

A: 根据海盗的分配规则和理性行为（优先生存、其次最大化金币、最后在金币相同情况下希望船上海盗更少），我们从海盗数量最少的情况开始逆向推理，逐步推导出五个海盗时的分配方案。

一、推理过程

一个海盗（只剩 P5）：
- P5 提出方案，拿走所有 100 枚金币。
- 投票：仅 P5 一人，100% 支持，方案通过。
- 分配：P5 得到 100。
两个海盗（P4 和 P5）：
- P4 提出方案。需要至少 50% 支持（2 的 50% 为 1，即至少一票支持）。
- P4 会投票支持自己的方案，因此即使 P5 反对，方案也能通过（P4 一票支持即满足条件）。
- P4 可以提出：自己拿 100，P5 拿 0。
- 分配：P4 得到 100，P5 得到 0。
三个海盗（P3、P4、P5）：
- P3 提出方案。需要至少 50% 支持（3 的 50% 为 1.5，向上取整需至少 2 票支持）。
- P3 会投票支持自己，因此还需要一票支持。
- 如果方案被拒绝，P3 被淘汰，进入两个海盗情况（P4 得 100，P5 得 0）。
- P5 在拒绝情况下得 0，因此 P3 可以贿赂 P5：给 P5 1 枚金币，P5 会支持（1 > 0）。
- P4 在拒绝情况下得 100，但 P3 无需贿赂 P4（成本高）。
- 方案：P3 得 99，P4 得 0，P5 得 1。
- 投票：P3 支持、P5 支持（两票支持），方案通过。
四个海盗（P2、P3、P4、P5）：
- P2 提出方案。需要至少 50% 支持（4 的 50% 为 2，需至少 2 票支持）。
- P2 会投票支持自己，因此还需要一票支持。
- 如果方案被拒绝，P2 被淘汰，进入三个海盗情况（P3 得 99，P4 得 0，P5 得 1）。
- P4 在拒绝情况下得 0，因此 P2 可以贿赂 P4：给 P4 1 枚金币，P4 会支持（1 > 0）。
- P3 在拒绝情况下得 99，贿赂成本高；P5 在拒绝情况下得 1，如果给 1 枚，金币相同但海盗更少时 P5 可能反对（嗜血偏好），因此贿赂 P4 更划算。
- 方案：P2 得 99，P3 得 0，P4 得 1，P5 得 0。
- 投票：P2 支持、P4 支持（两票支持），方案通过。
五个海盗（P1、P2、P3、P4、P5）：
- P1 提出方案。需要至少 50% 支持（5 的 50% 为 2.5，向上取整需至少 3 票支持）。
- P1 会投票支持自己，因此还需要两票支持。
- 如果方案被拒绝，P1 被淘汰，进入四个海盗情况（P2 得 99，P3 得 0，P4 得 1，P5 得 0）。
- P3 在拒绝情况下得 0，因此 P1 可以贿赂 P3：给 P3 1 枚金币，P3 会支持（1 > 0）。
- P5 在拒绝情况下得 0，因此 P1 可以贿赂 P5：给 P5 1 枚金币，P5 会支持（1 > 0）。
- P2 在拒绝情况下得 99，贿赂成本高；P4 在拒绝情况下得 1，如果给 1 枚，金币相同但海盗更少时 P4 可能反对，因此贿赂 P3 和 P5 更划算。
- 方案：P1 得 98，P2 得 0，P3 得 1，P4 得 0，P5 得 1。
- 投票：P1 支持、P3 支持、P5 支持（三票支持），方案通过。

二、最终分配

在五个海盗的情况下，金币分配如下：

最资深海盗（P1）：98 枚金币
第二资深海盗（P2）：0 枚金币
第三资深海盗（P3）：1 枚金币
第四资深海盗（P4）：0 枚金币
最年轻海盗（P5）：1 枚金币

总金币：98 + 0 + 1 + 0 + 1 = 100 枚。

三、代码实现

要解决海盗分金问题，我们可以使用逆向归纳法（从最少海盗数开始逐步推导到5个海盗），并通过Python代码实现这一逻辑。以下是完整的代码实现：

def pirate_allocation(total_pirates):# 存储不同海盗数量的分配方案allocations = {}# 基础情况：1个海盗allocations[1] = {1: 100}# 从2个海盗开始逐步计算到指定数量的海盗for n in range(2, total_pirates + 1):# 获取n-1个海盗时的分配方案prev_alloc = allocations[n-1]# 计算每个非提议者海盗在下一轮（n-1海盗）中的收益next_round_gains = []for i in range(2, n + 1):  # 当前海盗编号i（从2到n）# 在下一轮中，当前海盗的编号变为i-1gain_in_next = prev_alloc.get(i-1, 0)next_round_gains.append((i, gain_in_next))# 按下一轮收益升序排序，收益相同则按海盗编号升序next_round_gains.sort(key=lambda x: (x[1], x[0]))# 计算通过方案所需总票数（向上取整）total_votes_needed = (n + 1) // 2votes_to_buy = total_votes_needed - 1  # 需要收买的海盗数# 初始化当前分配方案（所有海盗0金币）curr_alloc = {pirate: 0 for pirate in range(1, n + 1)}total_cost = 0# 收买代价最小的votes_to_buy个海盗for idx in range(votes_to_buy):pirate_id, next_gain = next_round_gains[idx]bribe_amount = next_gain + 1  # 必须比下一轮收益多至少1金币curr_alloc[pirate_id] = bribe_amounttotal_cost += bribe_amount# 剩余金币归提议者（1号海盗）curr_alloc[1] = 100 - total_cost# 存储当前海盗数的分配方案allocations[n] = curr_allocreturn allocations[total_pirates]# 计算5个海盗的分配方案
result = pirate_allocation(5)
print("金币分配方案（海盗编号从最资深到最年轻海盗）：")
for pirate, coins in sorted(result.items()):print(f"海盗{pirate}: {coins}枚金币")

输出结果：

金币分配方案（海盗编号从最资深到最年轻海盗）：
海盗1: 98枚金币
海盗2: 0枚金币
海盗3: 1枚金币
海盗4: 0枚金币
海盗5: 1枚金币

代码逻辑详解

基础情况处理：当只有1个海盗时，他独占全部100枚金币。
逆向归纳：
- 从2个海盗开始逐步计算到5个海盗。
- 对于每个海盗数量n：
  - 获取n-1个海盗时的分配方案（作为下一轮基准）。
  - 计算每个非提议者海盗（编号2~n）在下一轮中的预期收益。
  - 将这些海盗按下一轮收益排序（收益低者优先，收益相同则按编号升序）。
  - 计算通过方案所需票数：ceil(n/2)（通过整数除法(n+1)//2实现）。
  - 提议者（1号海盗）需要收买ceil(n/2)-1个海盗，选择代价最小的海盗（给下一轮收益+1金币）。
  - 剩余金币归提议者所有。
输出结果：返回5个海盗时的分配方案。