《高等数学》（同济大学·第7版） 第一节《映射与函数》超详细解析
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集合（Set）—— 最基础的数学容器
定义：
集合是由确定的、互不相同的对象（称为元素）组成的整体。
表示方法：
列举法：A = {1, 2, 3}
描述法：B = {x | x > 0}（表示所有大于0的实数）
例子：
股票价格集合：{10.2, 11.5, 9.8}
AI中的特征集合：{年龄, 收入, 学历}
重要概念：
空集∅：不含任何元素的集合
子集：若A的所有元素都属于B，则A是B的子集（记作A⊆B） -
映射（Mapping）—— 元素之间的对应规则
定义：
对于两个集合X和Y，映射f是从X到Y的对应规则，要求：
确定性：X中每个元素x，有且只有一个y∈Y与之对应
记法：f: X→Y 或 x ↦ y = f(x)
类型
单射（注射）：不同x对应不同y
满射：Y中每个y都有x对应
双射：既是单射又是满射（可逆）
生活例子：
学生学号→成绩：是映射（一个学号对应一个成绩）
股票代码→当前价格：是映射
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函数（Function）—— 数集到数集的映射
定义：
当映射的输入（定义域）和输出（值域）都是实数集时，称为函数。
表达式：y = f(x)
定义域：所有合法输入的x的范围
值域：所有可能的输出y
例子：
线性函数：f(x) = 2x + 1
股价函数：P(t) = 100 + 5sin(t)（模拟周期性波动） -
函数的构造方法
(1) 四则运算：
f(x)±g(x), f(x)g(x), f(x)/g(x)（分母≠0）
(2) 复合函数：
f∘g(x) = f(g(x))
AI中的应用：
神经网络就是多层复合函数
(3) 反函数：
若f是双射，则存在f⁻¹满足f⁻¹(f(x)) = x
例子：
y = e^x 的反函数是 x = ln y
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六大基本初等函数（必须背熟的数学工具）
函数类型 表达式 图像特征 应用场景
幂函数 y = x^a 过(1,1)点 量化中的波动率建模
指数函数 y = a^x 爆炸增长/衰减 AI的激活函数、复利计算
对数函数 y = logₐx 缓慢增长 交叉熵损失、对数收益率
三角函数 y = sin(x) 周期性波动 价格周期分析
反三角函数 y = arcsin(x) 有限定义域 信号处理
常数函数 y = C 水平直线 基准收益率 -
函数的四大性质
(1) 有界性：
定义：存在M>0，使|f(x)|≤M对所有x∈定义域成立
AI意义：限制神经网络输出范围（如Sigmoid将输出压缩到(0,1)）
(2) 单调性：
递增：x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂)
递减：x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂)
量化意义：确保交易信号方向一致性
(3) 奇偶性：
奇函数：f(-x) = -f(x)（如y=x³）
偶函数：f(-x) = f(x)（如y=x²）
应用：简化计算（对称区间积分）
(4) 周期性：
定义：存在T≠0，使f(x+T)=f(x)
量化应用：发现商品的季节性规律