P1439 【模板】最长公共子序列

题目描述

给出 $1,2,\dots ,n$ 的两个排列 $P_1$ 和 $P_2$ ，求它们的最长公共子序列。

输入格式

第一行是一个数 $n$。

接下来两行，每行为 $n$ 个数，为自然数 $1,2,\dots ,n$ 的一个排列。

输出格式

一个数，即最长公共子序列的长度。

输入输出样例 #1

输入 #1

5 
3 2 1 4 5
1 2 3 4 5

输出 #1

3

说明/提示

• 对于 $50\%$ 的数据， $n\le 10^3$；
• 对于 $100\%$ 的数据， $n\le 10^5$。

题目分析

类似题目:友好城市。

把题目转化一下:
每一个数只会在两个串之间出现一次，我们要将这两个数字连起来，这样就会产生一条线段，每两条线段之间不能有交叉，求解最多可添加的线段条数

如何添加更多线段?

假设现在有两个线段，端点分别为 $x_1,y_1$ 和 $x_2,y_2$ 能添加的条件就是 $x_1 < x_2 $ 且 $y_1<y_2$

这样只需要让两个端点的值尽量小并且都保持从小到大的顺序
这不就是最长上升子序列吗!

可以以任意一个位置为关键字由小到大排序,再求另一个关键字所组成的最长不下降子序列长度，输出即可

定义: $dp[i]$ 长度为 $i$ 的最长上升子序列的最小结尾

算法: 二分减少时间复杂度

for(int i = 1 ; i <= n ; i++){
  if(cty[i].second > dp[cnt])dp[++cnt] = cty[i].second;
  //比最大的还大，直接加一个新的
  else *lower_bound(dp+1,dp+cnt+1,cty[i].second) = cty[i].second;
  //找到第一个比他大的替换
}

AC代码

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int SIZN = 1e5 + 10;

int n;
pair<int,int> cty[SIZN];
int dp[SIZN],cnt = 0;
bool cmp(pair<int,int> a,pair<int,int> b){
    return a.first < b.first;
}
signed main(){
    cin >> n;
    for(int i = 1 ; i <= n ; i++){
        int k;
        cin >> k;
        cty[k].first = i;
    }
    for(int i = 1 ; i <= n ; i++){
        int k;
        cin >> k;
        cty[k].second = i;
    }
    sort(cty+1,cty+n+1,cmp);
    for(int i = 1 ; i <= n ; i++){
        if(cty[i].second > dp[cnt])dp[++cnt] = cty[i].second;
        else *lower_bound(dp+1,dp+cnt+1,cty[i].second) = cty[i].second;
    }
    cout << cnt;
    return 0;
}