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数据结构并查集并查集的操作以及结构

news 来源：原创 2025/6/18 4:12:18

并查集就支持两个操作

将两个集合合并
询问两个元素是否在一个集合中

并查集可以在接近o1的时间内，完成这两个操作

别忘了，集合中的元素是不重复的，一般情况下，考察并查集的所有元素也不重复

并查集的结构

并查集是一种树形结构

每个节点存储自己的父节点，例如

f[1]=1,f[2]=1,f[3]=1,f[4]=3,f[5]=3,f[6]=4

并查集初始化

在最初，每个元素都是自己独立一个集合，所以并查集初始化如下

for(int i=1;i<=n;i++)f[i]=i;

并查集查找操作

int find(int x){
    if(f[x]==x)return x;//找到根节点了，因为他指向自己
    return find(f[x]);//不是根节点，继续向上找
}

举例，红色是找过去，绿色是把返回值返回回来

并查集查找优化

并查集既然是只需要支持查找集合，合并集合的操作

那我们可以尽量让这个数变宽，变浅，让子节点在尽量短的路径里，找到根节点

那我们在查找时，就可以更改其他子节点，让所有子节点，直接指向根节点

这样下次再查找时，现有子节点，即可一步（o1)找到根节点

int find(int x){
    if(f[x]==x)return x;
    return f[x]=find(f[x]);//只增加一步操作，将此次查找经过的子节点，其父节点直接指向根节点
}

如下图

并查集合并集合

要记住，f[i]里的i，才是集合里的元素的值，而f[i]的值，是其父节点的值

合并集合，就是把集合A的根节点i，对应的f[i]的值

变成集合B的根节点i的值

代码，将x集合合并到y（x指向y)

void unionset(int x,int y){
    //先用查找函数，找到根节点，然后把根节点f[i]指向的值，从他本身，变为find(y)的集合的根节点的值
    f[find(x)]=find(y);
}

典型例题以及完整代码实现

AcWing - 算法基础课

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 100100;
int f[N];
//查找
int find(int x){
    if(f[x]==x)return x;
    return f[x]=find(f[x]);
}
//合并
void on(int x,int y){
    f[find(x)]=find(y);
    return;
}
int main(){
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    //初始化
    for(int i=1;i<=n;i++)f[i]=i;
    while(m--){
        char c;int a,b;
        cin>>c>>a>>b;
        if(c=='M'){
            on(a,b);
        }
        else
        {
            cout<<(find(a)==find(b)?"Yes":"No")<<endl;
        }
    }
    return 0;
}

连通块中点的数量，经典例题

AcWing - 算法基础课

此题和并查集样题区别是

多了一个查询操作：查询任意一节点所在连通块的数量

连通块查询思路

我们要做的就是，新建一个fs数组，假如根节点是i，则fs[i]存储的就是根节点所在连通块的节点数量

每个连通块的根节点对应一个fs[i]数组,fs[i]的值是该连通块的节点数量

连通块计算思路

一开始，所有fs[i]=1;因为所有节点都是独立的

在每次合并时，例如x所在连通块合并到y所在连通块

我们将x的根节点指向的该连通块所有节点的数量，加在y的根节点指向所有节点数量上

这样便增加fs[i]根节点的值

void on(int x,int y){
    //合并两个连通块（集合）时，先把连通块对应的值计算,因为合并连通块后，对应的fs的值也变了
    //因为该节点的根节点i，f[i]才是该连通块所有节点的数量
    //一定是y累加x的值，因为下面最后一行，是将y的连通块的根节点作为合并后的根节点
    fs[find(y)]+=fs[find(x)]; 
    f[find(x)]=find(y);
}

完成代码实现

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 100010;
#define ll long long
int f[N],fs[N];//fs[i]的值代表i节点作为根节点，共有多少连通块
int find(int x){
    if(f[x]==x)return x;
    return f[x]=find(f[x]);
}
void on(int x,int y){
    //合并两个连通块（集合）时，先把连通块对应的值计算,因为合并连通块后，对应的fs的值也变了
    //因为该节点的根节点i，f[i]才是该连通块所有节点的数量
    //一定是y累加x的值，因为下面最后一行，是将y的连通块的根节点作为合并后的根节点
    fs[find(y)]+=fs[find(x)]; 
    f[find(x)]=find(y);
}
int main(){
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        f[i]=i;
        fs[i]=1;//所有节点，一开始节点所在的连通块只有自己本身
    }
    while(m--){
        string c;int a,b;
        cin>>c;
        if(c=="C"){
            cin>>a>>b;
            //同一个节点不用合并，避免多合并，造成根节点对应的数组的值增大
            if (find(a) == find(b)) continue;
            on(a,b);
        }
        else if(c=="Q1"){
            cin>>a>>b;
            cout<<(find(a)==find(b)?"Yes":"No")<<endl;
        }
        else
        {
            cin>>a;
            //输出时，也是该连通块根节点的fs[i]代表连通块数量
            //别忘了先查询，再输出
            cout<<fs[find(a)]<<endl;
        }
    }
    return 0;
}