凸包构造算法—Graham 扫描法

1. 理论原理推导

核心思想

Graham 扫描法基于以下基本思想：

• 极角排序：
  选取一个参考点（通常选择 y 坐标最小的点，若存在多个，则选 x 坐标最小的），将其他点按照与该参考点构成的极角进行升序排序。这样排序后的点序列沿参考点方向依次展开，便于后续的凸包构造。

• 利用栈进行构造：
  从参考点开始，依次将排序后的点加入栈中。每加入一个新点，都检查当前栈顶的两个点与新点形成的转向：

  • 如果转向为左转（或者说逆时针转），说明当前点有可能是凸包的一部分，继续压入栈中；

  • 如果转向为右转（顺时针）或共线，说明栈顶点不满足凸包条件，需要弹出栈顶点。如此反复，直至满足左转条件，再将当前点压入栈中。

几何证明

• 正确性证明：
  利用“循环不变量”思想，可以证明：

  • 在每一步，栈中保存的点构成部分凸包（即所有点均处于边界的外侧）。

  • 如果出现右转，则说明栈顶点处于内部，不可能在最终凸包上，将其删除。

  由此，通过反复修正转向，最终栈中剩下的点必然构成整个点集的凸包。

• 关键性质：
  对于任何三个连续的点 ， 和 ，如果构成右转，则   一定不在凸包边界上；如果总是保持左转，则整个路径是凸的。
  这一性质正是构造凸包的理论依据。

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2. 时间复杂度推导

Graham 扫描法主要分为两个阶段：

1. 极角排序阶段：

   • 对 n 个点按照极角排序，通常采用快速排序或归并排序，其时间复杂度为 O(nlog⁡n)。

2. 扫描与构造阶段：

   • 利用栈对排序后的点进行扫描，判断每次转向是否为左转或右转。每个点最多入栈一次、出栈一次，故该阶段的时间复杂度为 O(n)。

综合时间复杂度：
主要耗时在排序阶段，故总体时间复杂度为O(nlog⁡n)

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3. 算法步骤

步骤 1：选择参考点

• 在所有点中选择 y 坐标最小的点作为参考点（若 y 坐标相同，则选择 x 坐标最小的点），记为 。

步骤 2：极角排序

• 以 ​ 为原点，计算所有其他点与 之间的极角。

• 对所有点（除了 ）按照极角升序排序。

  • 注意：在极角相同的情况下，通常保留离 最近的点，或者按距离排序，确保排序结果有利于凸包构造。

步骤 3：初始化栈

• 将  以及排序后的前两个点依次压入栈中。

步骤 4：扫描构造凸包

• 对于排序后的其余每个点 ​（从第 3 个点开始）：

  1. 检查栈顶的两个点（记为 ​ 和 ​）与 ​ 构成的转向。

  2. 如果转向为右转（或共线不满足要求），则说明  不在凸包上，从栈中弹出该点。

  3. 重复上述检查，直到栈顶的两个点与 ​ 构成左转为止。

  4. 将 ​ 压入栈中。

步骤 5：输出结果

• 当所有点处理完毕后，栈中保存的点按顺序构成整个点集的凸包。

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算法总结

• 理论原理：
  通过选择参考点、极角排序以及利用栈检查转向，保证了每一次只保留凸包边界上的点。利用几何性质证明了只有左转时点才属于凸包，右转时弹出不符合条件的点。

• 时间复杂度：
  排序阶段 O(nlog⁡n)，扫描阶段 O(n) ，整体为 O(nlog⁡n) 。

• 算法步骤：
  包含选择参考点、极角排序、栈初始化、扫描构造凸包以及输出结果等步骤，流程清晰且易于实现。