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决策树基础

news 来源：原创 2025/5/2 8:20:03

决策树

定义

从根节点开始，也就是拥有全部的数据，找一个维度对根节点开始划分，

划分后希望数据整体的信息熵是最小的，

针对划分出来的两个节点，我们继续重复刚才的划分方式寻找信息熵最小的维度和阈值。

递归这个过程就形成了决策树。

特点

非参数学习算法

可以解决分类问题

天然可以解决多分类问题

非常好的可解释性

代码实现

sklearn封装的方式

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn import datasets
from sklearn.tree import DecisionTreeClassifier
# 学习使用数据集，去后两个维度，便于可视化
iris = datasets.load_iris()
X = iris.data[:, 2:]
y = iris.target

dt_clf = DecisionTreeClassifier(max_depth=2, criterion="entropy", random_state=42)
dt_clf.fit(X, y)

# 画图函数
def plot_decision_boundary(model, axis):
    x0, x1 = np.meshgrid(
        np.linspace(axis[0], axis[1], int((axis[1] - axis[0]) * 100)).reshape(-1, 1),
        np.linspace(axis[2], axis[3], int((axis[3] - axis[2]) * 100)).reshape(-1, 1),
    )
    X_new = np.c_[x0.ravel(), x1.ravel()]
    y_predict = model.predict(X_new)
    zz = y_predict.reshape(x0.shape)
    from matplotlib.colors import ListedColormap
    custom_cmap = ListedColormap(["#EF9A9A", "#FFF59D", "#90CAF9"])
    plt.contourf(x0, x1, zz, cmap=custom_cmap)

plot_decision_boundary(dt_clf, axis=[0.5, 7.5, 0, 3])
# X[y==0,0]表示样本target为0的，第一个维度，其余类推
plt.scatter(X[y == 0, 0], X[y == 0, 1])
plt.scatter(X[y == 1, 0], X[y == 1, 1])
plt.scatter(X[y == 2, 0], X[y == 2, 1])
plt.show()

在这里插入图片描述

信息熵（重要知识）

熵在信息论中代表：随机变量不确定度的度量。

熵越大，数据的不确定性越高；熵越小，数据的不确定性越低，公式如下：
$-\sum^{k}_{i-1} p_{i}\log(p_{i}) \\ p_{i} 类别\ i \ 的概率$
如以下两组数据的随机分布如下：
$\{\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}\} \\ H = -\frac{1}{3}\log{\frac{1}{3}}-\frac{1}{3}\log{\frac{1}{3}}-\frac{1}{3}\log{\frac{1}{3}} = 1.0986 \\ \\ \{\frac{1}{10},\frac{2}{10},\frac{7}{10}\} \\ H = -\frac{1}{10}\log{\frac{1}{10}}-\frac{2}{10}\log{\frac{2}{10}}-\frac{7}{10}\log{\frac{7}{10}} = 0.8018 \\$

二分类问题信息熵的公式可化简为：
$-x\log*(x) - (1-x)\log(1-x)$

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def entropy(p):
    return -p * np.log(p) - (1-p) * np.log(1-p)
x = np.linspace(0.01, 0.99, 200)
plt.plot(x, entropy(x))
plt.show()

在这里插入图片描述

最小化信息熵划分数据维度和阈值，模拟sklearn中的封装方法

import numpy as np
from collections import Counter
from math import log
from sklearn import datasets

iris = datasets.load_iris()
X = iris.data[:, 2:]
y = iris.target

def split(X, y, d, value):
    """
    函数功能：根据给定的特征维度d和阈值value，将数据集进行划分
    X、y分别是数据样本和标签
    d是数据的某一个维度
    value是d维度上的一个阈值
    """
    # 寻找所有数据集中维度为d且小于等于value的bool向量
    index_a = X[:, d] <= value
    index_b = X[:, d] > value
    return X[index_a], X[index_b], y[index_a], y[index_b]

def entropy(y):
    """
    计算信息熵
    y:类别标签, 类似[0,0,1,1,2,2,2,2]
    """
    counter = Counter(y)
    res = 0.0
    for num in counter.values():
        p_i = num / len(y)  # 计算每个类别的概率
        res += -p_i * log(p_i)
    return res

def try_split(X, y):
    """
    寻找传入数据的最优划分方案（信息熵最小）
    最优的维度和划分阈值
    """
    # 最优信息熵
    best_entropy = float("inf")
    best_d, best_v = -1, -1
    # 搜索过程：从d=0以及d这个维度升序后的相邻样本的均值开始
    for d in range(X.shape[1]):
        # 返回排序(升序)后索引
        sorted_index = np.argsort(X[:, d])
        for i in range(1, len(X)):
            if X[sorted_index[i], d] != X[sorted_index[i - 1], d]:
                # 候选阈值value的确认方式，且相邻的两个值不相等(剪枝)
                v = (X[sorted_index[i], d] + X[sorted_index[i - 1], d]) / 2
                X_l, X_r, y_l, y_r = split(X, y, d, v)

                p_l, p_r = len(X_l) / len(X), len(X_r) / len(X)  # 可以删除占比
                e = p_l * entropy(y_l) + p_r * entropy(y_r)
                if e < best_entropy:  # 更新最小熵、最优维度d以及该维度上的最优阈值v
                    best_entropy, best_d, best_v = e, d, v

    return best_entropy, best_d, best_v

best_entropy, best_d, best_v = try_split(X, y)
print("best_entropy =", best_entropy)
print("best_d =", best_d)
print("best_v =", best_v)
# best_entropy = 0.46209812037329684
# best_d = 0
# best_v = 2.45
# 解释：第一次划分在第0个维度上，阈值为2.45，信息熵最优

# 根据第一次的最优划分条件，对数据集进行划分
X1_l, X1_r, y1_l, y1_r = split(X, y, best_d, best_v)
entropy(y1_l)  # 0.0 y1_l信息熵为0，对应X1_l节点无需再划分
entropy(y1_r)  # y1_r信息熵0.6931471805599453，继续划分X1_r节点

best_entropy2, best_d2, best_v2 = try_split(X1_r, y1_r)
print("best_entropy =", best_entropy2)
print("best_d =", best_d2)
print("best_v =", best_v2)
# best_entropy = 0.2147644654371359
# best_d = 1
# best_v = 1.75

X2_l, X2_r, y2_l, y2_r = split(X1_r, y1_r, best_d2, best_v2)
entropy(y2_l) # 0.30849545083110386
entropy(y2_r)  # 0.10473243910508653
# 信息熵不为0还可以继续划分，此时深度为2

基尼系数

基尼系数公式如下：
$1-\sum^{k}_{i=1}p_{i}^2$
基尼系数和信息熵拥有同样的性质。

基尼系数代码实现

from collections import Counter

def gini(y):
    counter = Counter(y)
    res = 1.0
    for num in counter.values():
        p = num / len(y)
        res -= p**2
    return res