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不同路径——1

news 来源：原创 2025/5/19 17:03:48

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角（起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。
问总共有多少条不同的路径？
示例 1：

输入：
m = 3, n = 7
输出：28
示例 2：
输入：
m = 3, n = 2
输出：
3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下
示例 3：
输入：
m = 7, n = 3
输出：
28
示例 4：
输入：
m = 3, n = 3
输出：6

解题思路·:

由于机器人只能向下或向右移动，要到达网格中的某个特定位置 (i, j)，它只能从该位置的上方 (i - 1, j) 或者左方 (i, j - 1) 移动过来。这就意味着到达位置 (i, j) 的不同路径数量与到达其上方和左方位置的不同路径数量有关，设 dp[i][j] 表示机器人从网格的左上角 (0, 0) 移动到位置 (i, j) 的不同路径数量。这里 i 表示行索引，范围是 0 到 m - 1；j 表示列索引，范围是 0 到 n - 1。对于第一行的任意位置 (0, j)（j 从 0 到 n - 1），因为机器人只能从左上角一直向右移动才能到达这些位置，所以到达这些位置的路径只有一种，即 dp[0][j] = 1。对于第一列的任意位置 (i, 0)（i 从 0 到 m - 1），因为机器人只能从左上角一直向下移动才能到达这些位置，所以到达这些位置的路径也只有一种，即 dp[i][0] = 1。通过上述状态转移方程，我们可以从 (1, 1) 位置开始，按照行优先或者列优先的顺序依次计算出网格中每个位置的 dp 值。最终，dp[m - 1][n - 1] 就表示机器人从左上角 (0, 0) 移动到右下角 (m - 1, n - 1) 的不同路径数量。

具体代码：

import java.util.Scanner;

public class UniquePaths {
    public static int uniquePaths(int m, int n) {
        // 创建一个二维数组 dp 来存储到达每个位置的不同路径数量
        int[][] dp = new int[m][n];

        // 初始化第一行，因为从左上角只能一直向右走到达第一行的每个位置，所以路径数都为 1
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            dp[0][j] = 1;
        }

        // 初始化第一列，因为从左上角只能一直向下走到达第一列的每个位置，所以路径数都为 1
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            dp[i][0] = 1;
        }

        // 从 (1, 1) 位置开始遍历整个网格
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                // 状态转移方程：到达当前位置 (i, j) 的路径数等于到达上方位置 (i - 1, j) 的路径数加上到达左方位置 (i, j - 1) 的路径数
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
            }
        }

        // 最终结果存储在 dp[m - 1][n - 1] 中，表示到达右下角位置的不同路径数量
        return dp[m - 1][n - 1];
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);

        // 提示用户输入网格的行数
        System.out.print("请输入网格的行数 m: ");
        int m = scanner.nextInt();

        // 提示用户输入网格的列数
        System.out.print("请输入网格的列数 n: ");
        int n = scanner.nextInt();

        // 调用 uniquePaths 方法计算不同路径数量
        int result = uniquePaths(m, n);

        // 输出结果
        System.out.println("从左上角到右下角的不同路径数量为: " + result);

        // 关闭 Scanner 对象
        scanner.close();
    }
}

运行截图·：