数学——A. K-divisible Sum + D. Exam in MAC
A. K-divisible Sum
题目：
思路：
以下 “[xxx]” 符号均代表向上取整
我们假设总和是sum，那么就有sum = k * cnt
要想最大值最小，肯定是要让sum尽可能小，这样每个元素都能变小
最小情况是 sum 恰好等于 n 时，此时有 n <= k * cnt
则 cnt 满足 cnt >= [n / k]，当其取最小值时，sum有最小
此时既然我们知道sum的最小值了，那我们来探讨一下数组中最大值的最小值应该是多少
显然最小值应该是 [sum / n]，所以我们便可写出代码了
代码：
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<string>
#include <set>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <unordered_set>
#include <map>
#include <unordered_map>
#include <stack>
#include <memory>
using namespace std;
#define int long long
#define yes cout << "YES\n"
#define no cout << "NO\n"
void solve()
{
int n, k;
cin >> n >> k;
int cf = (k + n - 1)/ k;
cout << (cf * k + n - 1) / n << endl;
}
signed main()
{
cin.tie(0)->sync_with_stdio(false);
int t = 1;
cin >> t;
while (t--)
{
solve();
}
return 0;
}D. Exam in MAC
题目：
思路：
这题让我们选出满足题意的（x,y）数对，首先看数据，居然高达1e9，那么显然不能直接暴力枚举
这题要以反向的思路来求，因为满足的很多，但是不满足的很少
那我们先什么都不考虑，我们的数对有多少种选择呢？（无重复）
显然是 (c+1 +1) * (c+1) / 2 种，为什么？
当 x 选 0 时，y 可以选 c + 1种，当 x 选 1 时，y 可以选 c 种，以此类推，最后发现这是一个等差数列，那么直接求和就是以上公式了
接下来我们考虑不符合的
首先考虑 x + y ∈ s
也就是对于任意的 s[i]，要使得 x + y = s[i]，一共有多少种选择？
其实和上述一样的思路，这里的答案是 s[i] / 2 + 1 种（因为还有0）
接下来考虑 y - x ∈ s
对于 y - x = s[i]，也就是 y = s[i] + x，可以看出 y 的取值范围是 s[i] <= y <= c，那么显然，对于范围内任选一个数，都有唯一确定的 x 与其对应，所以这里的答案是 c - s[i] + 1
那么到这就结束了吗？显然没有，因为还有可能这些情况中还有两种情况都符合的情况
那么根据容斥原理，我们只需要求出两种情况都符合的情况，然后减去即可
那么我们来看看如何计算呢，首先有以下式子
x + y = s[i] 且 y - x = s[j]，其中 s[i] 可以等于 s[j]，那么显然对于这个二元一次方程，我们可以解出对于 s[i] 和 s[j] 这种情况的唯一解，但是要注意，s[i] 与 s[j] 的奇偶性一定要相同，否则解不是整数，所以我们只需要统计 s 中的奇数和偶数就行了，那接下来算一下他们的奉献
对于任意奇偶，其奉献是 even/odd * (even/odd + 1) / 2，这其实和上面一样，自己草稿纸上也能写出来
至此题目分析完毕，还是比较简单的，将复杂变简单
代码：
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<string>
#include <set>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <unordered_set>
#include <map>
#include <unordered_map>
#include <stack>
#include <memory>
using namespace std;
#define int long long
#define yes cout << "YES\n"
#define no cout << "NO\n"
void solve()
{
int n, c;
cin >> n >> c;
vector<int> s(n);
for (int i = 0; i < n; i++)
{
cin >> s[i];
}
int ans = 1LL * (c + 1) * (c + 2) / 2LL;
int even = 0, odd = 0;
for (int i = 0; i < n; i++)
{
ans -= s[i] / 2LL + 1;
ans -= c - s[i] + 1LL;
if (s[i] % 2)
odd++;
else
even++;
}
ans += 1LL * even * (even + 1) / 2LL;
ans += 1LL * odd * (odd + 1) / 2LL;
cout << ans << endl;
}
signed main()
{
cin.tie(0)->sync_with_stdio(false);
int t = 1;
cin >> t;
while (t--)
{
solve();
}
return 0;
}