练习-依依的询问最小值（前缀和差分）
问题描述
依依有个长度为 n 的序列 a，下标从 1 开始。
她有 m 次查询操作，每次她会查询下标区间在[li,ri] 的 a 中元素和。她想知道你可以重新排序序列 a，使得这 m 次查询的总和最小。
求你求出 m 次查询总和的最小值。
输入格式
第一行输入两个整数 n,m
，表示序列 a 的长度以及查询次数。
第二行输入 n 个整数 ai
，表示序列 a 中的元素。
接下来 m 行，每行输入两个整数 li,ri（1≤li≤ri≤n），表示询问的下标区间。
输出格式
输出仅一行，包含一个整数，表示 m 次查询总和的最小值。
样例输入
3 2
1 2 3
1 2
2 3
样例输出
7样例解释
1. 输入
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序列 a=[1,2,3]a=[1,2,3]。
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查询区间：
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[1,2]：a[1]+a[2]
-
[2,3]：a[2]+a[3]
-
2. 计算每个索引被查询的次数
-
索引 1：被查询区间 [1,2]覆盖，次数为 1。
-
索引 2：被查询区间 [1,2]和 [2,3] 覆盖，次数为 2。
-
索引 3：被查询区间 [2,3]覆盖，次数为 1。
3. 重新排列序列 a
-
将较大的元素分配给被较少查询区间覆盖的索引，将较小的元素分配给被较多查询区间覆盖的索引。
-
索引 2 被查询的次数最多，因此应该分配最小的元素。
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索引 1 和 3 被查询的次数较少，可以分配较大的元素。
重新排列后的序列：
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索引 1：3
-
索引 2：1
-
索引 3：2
即 a=[3,1,2]。
4. 计算查询区间的元素和
-
[1,2]：a[1]+a[2]=3+1=4
-
[2,3]：a[2]+a[3]=1+2=3
5. 总和
-
总和为 4+3=74+3=7。
1. 问题分析
-
目标：通过重新排列序列 a，使得所有查询区间的元素和的总和最小。
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查询区间：每个查询区间 [li,ri] 的元素和是 a[li]+a[li+1]+⋯+a[ri]。
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操作：只能重新排列序列 a，不能修改或删除元素。
2. 关键观察
1. 查询区间的重叠
-
不同的查询区间可能会重叠，导致某些索引被多次查询。
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例如，查询区间 [1,3]和 [2,4] 重叠在索引 2 和 3。
2. 元素分配的策略
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如果一个索引被多个查询区间覆盖，那么该索引的值会对多个查询区间的元素和产生影响。
-
为了最小化总和，我们应该将较大的元素分配给被较少查询区间覆盖的索引，将较小的元素分配给被较多查询区间覆盖的索引。
3. 差分数组的使用
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差分数组可以高效地统计每个索引被查询的次数。
-
通过差分数组，我们可以在 O(n+m) 的时间复杂度内计算出每个索引被查询的次数。
4. 排序和分配
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将查询次数从小到大排序，将序列 a 从大到小排序。
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将较大的元素分配给被较少查询区间覆盖的索引，将较小的元素分配给被较多查询区间覆盖的索引。
3. 解决思路
基于以上观察，我们可以设计以下解决思路：
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统计每个索引被查询的次数：
-
使用差分数组统计每个索引被查询的次数。
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通过前缀和数组计算每个索引被查询的次数。
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排序：
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将查询次数从小到大排序。
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将序列 a 从大到小排序。
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分配元素：
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将较大的元素分配给被较少查询区间覆盖的索引，将较小的元素分配给被较多查询区间覆盖的索引。
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计算最小总和：
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计算所有查询区间的元素和的总和。
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解题代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 9;
int g[N]; // 差分数组，用于统计每个索引被查询的次数
int prefix[N]; // 前缀和数组，用于计算每个索引被查询的次数
int a[N]; // 存储输入的序列 a
// 自定义排序函数，用于将数组从大到小排序
bool cmp(int u, int v)
{
return u > v;
}
int main()
{
int n, m; // n 是序列长度，m 是查询次数
long long cnt = 0; // 用于存储最小总和
cin >> n >> m; // 输入序列长度 n 和查询次数 m
// 输入序列 a，索引从 1 开始
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
cin >> a[i];
}
// 使用差分数组统计每个索引被查询的次数
while (m)
{
int l, r; // 查询区间的左右端点
cin >> l >> r;
g[l]++; // 从 l 开始，查询次数增加 1
g[r + 1]--; // 从 r + 1 开始，查询次数减少 1
m--; // 处理完一个查询，m 减 1
}
// 计算每个索引被查询的次数
prefix[1] = g[1]; // 初始化 prefix[1]
for (int i = 2; i <= n; i++)
{
prefix[i] = prefix[i - 1] + g[i]; // 计算 prefix[i]
}
// 将 prefix 数组从小到大排序
sort(prefix + 1, prefix + 1 + n);
// 将 a 数组从大到小排序
sort(a + 1, a + 1 + n, cmp);
// 计算最小总和
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
cnt += a[i] * prefix[i]; // 将较大的元素分配给被较少查询区间覆盖的索引
}
cout << cnt;
return 0;
}