Galois 理论 | 发展历程 / 基本定理的证明

注：本文为 “Galois 理论” 相关合辑。
略作重排，如有内容异常，请看原文。

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为何伽罗瓦 19 岁发明的群论，多数相关专业研究生终其一生难学透？

酱紫君 发布于 2021-08-07 22:00

教科书所呈现的现代伽罗瓦理论，是否与伽罗瓦的原始发明完全等同？中式教材多遵循纯粹的布尔巴基学派风格，脱离数学史发展背景，直接堆砌抽象概念，往往以“能懂则学，不懂则弃”的模式呈现内容。伽罗瓦本人或许未曾将理论拓展至这般抽象程度，若将此类教材交付于他，恐怕会怒而向编辑发起决斗。

原初 Galois 理论

让我们回溯至 1832 年的巴黎，探寻伽罗瓦原始思想的起源。决斗前三天，伽罗瓦仍在钻研一个关键问题：

给定一个多项式方程，其根能否通过系数的加、减、乘、除及开方运算表示？

彼时，拉格朗日等数学前辈已意识到，解方程的关键在于根的置换（permutation），并隐约推测五次方程可能不存在根式解。但如何给出严格证明？即便高斯、柯西等顶尖数学家也束手无策。而伽罗瓦却穿透问题表象，精准捕捉到了关键线索。

Le Groupe

伽罗瓦考察了 n 次方程的 n 个根 $x_1,x_2,\dots ,x_n$，聚焦于一类特殊置换：

根之间任意存在的代数关系，在置换后必须保持成立。

例如方程 $x^4-10x^2+1=0$，其四个根为 $x_1=\sqrt{2}+\sqrt{3}$、$x_2=\sqrt{2}-\sqrt{3}$、$x_3=-\sqrt{2}+\sqrt{3}$、$x_4=-\sqrt{2}-\sqrt{3}$。这些根可构建一系列代数关系式：部分关系式在下标任意替换后仍成立，如 $x_1{x}_2{x}_3{x}_4=1$；部分关系式在下标替换后不再成立，如 $x_1{x}_2+x_3{x}_4\ne x_1{x}_3+x_2{x}_4$。

伽罗瓦所关注的，正是那些能保持所有有理系数代数关系的置换。所有这类允许的置换构成的集合，被伽罗瓦命名为“le groupe”。他发现，该集合对置换的复合运算具有封闭性：若集合中两个置换接连进行，其结果必然等同于集合中的另一个置换。换言之，groupe 精确描述了方程根的对称性，或根的不可区分性。

Adjonction

伽罗瓦进一步思考：若已知解的部分构成，情况会发生何种变化？例如，将 $\sqrt{2}$ 添加至有理数集中，部分原本无法表示的解变得可表示，部分此前不可区分的根也具备了区分度。同时，添加 $\sqrt{2}$ 后，置换不再允许将 $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ 变为 $-\sqrt{2}+\sqrt{3}$。这意味着允许的置换数量减少，方程的 groupe 随之缩小。伽罗瓦将这一过程称为“adjonction”。

Décomposition Propre

最终，伽罗瓦发现了方程根式可解的秘密——隐藏于上述 groupe 的分解过程中。他提出疑问：能否找到一类特殊 groupe，使得添加与其相关的根式后，原 groupe 能以清晰可控的方式分裂？若该过程可逐步推进，每次通过添加一个根式实现 groupe 的有效分解，直至 groupe 简化为仅含恒等置换的最简形式，方程便可迎刃而解。他将这类特殊 groupe 引发的分解命名为“décomposition propre”。

至此，原始版本的伽罗瓦定理得以确立：

对于一般五次方程，其 le groupe 包含全部 $5!=120$ 个置换，该庞大 groupe 不存在完美的 décomposition propre。即五次方程的解无法通过添加根式的方式实现有序分解，因此五次方程无根式解。

Liouville-Galois 理论

伽罗瓦的思想过于超前，且英年早逝，未能对研究成果进行详细阐述。其手稿字迹潦草且逻辑跳跃，即便当时最顶尖的数学家也未能察觉其学术价值。

1843 年，刘维尔偶然获得伽罗瓦的手稿。彼时，刘维尔正致力于超越数与积分理论的研究，他刚通过分析函数扩张结构判断了积分的可积性（即后世所称的刘维尔定理）。刘维尔被伽罗瓦通过分析根的结构判断方程可解性的思想深深震撼。尽管微积分与伽罗瓦理论的关联并非简单直接，完整的微分伽罗瓦理论需在百年后才得以建立，但刘维尔已为此奠定了第一块基石。

在法国科学院的会议上，刘维尔向整个数学界郑重宣布：

我发现了一位天才的遗作，它完美解决了“方程是否可用根式求解”这一难题。

伽罗瓦的名字自此为世人所知，更多数学家开始尝试理解其思想，一段跨越百年的数学传奇就此开启。1846 年，刘维尔在其创办的权威数学期刊《纯粹与应用数学杂志》上全文发表了伽罗瓦的手稿，将伽罗瓦思想进一步推向全欧洲。此外，刘维尔还完成了“绝地天通”的重要工作——将函数划分为六大初等函数与其他非初等函数，自此才有了初等数学与高等数学的明确分野。

Jordan-Galois 理论

刘维尔的发表让伽罗瓦理论进入数学界视野，但其一原始形式仍晦涩难懂，鲜少有数学家能深入领会。将伽罗瓦理论发扬光大并构建为系统化学科的关键人物，是卡米尔·若当（Camille Jordan）。

1870 年，若当出版了划时代巨著《论置换与代数方程》，这是首部关于群论与伽罗瓦理论的系统性教科书。若当运用当时日渐成熟的置换群语言，清晰、系统地整理并阐述了伽罗瓦的思想，将零散、直觉性的原始思路，铸造成逻辑严谨、条理清晰的数学理论。经他梳理，伽罗瓦理论从天才的杂乱草稿，转变为数学系学生可系统学习的严肃课程。他深入发展了有限群理论，尤其是正规子群、商群、单群与群的合成列等关键概念，并将其与伽罗瓦理论紧密结合。

Normal Subgroup

正规子群是伽罗瓦 décomposition propre 思想的严格化表述。若子群 $H$ 是群 $G$ 的正规子群，则意味着 $H$ 在 $G$ 中具有高度对称性与稳定性。具体表现为：对 $G$ 中任意元素 $g$，通过 $gH{g}^{-1}$ 对 $H$ 进行变换，$H$ 整体仍保持不变。这种稳定性是群能够被分解的关键前提。

Quotient Group

若 $H$ 为正规子群，则可将 $G$ 中模掉 $H$ 的部分构成一个更小的新群，即商群 $G/H$。这一过程对应伽罗瓦 adjonction 操作后 groupe 缩小的现象，而 $G/H$ 的结构恰好描述了该分解的本质。

Simple Group

单群是群论中的“原子”，其内部不包含任何非平凡的正规子群，无法通过上述方式进一步分解。

Composition Series

若当将伽罗瓦逐步分解 groupe 的过程，形式化为“合成列”。群的合成列是一条从群自身出发，通过一系列正规子群逐级分解，直至无法再分解的下降链条，记为 G▹H1▹H2▹⋯▹{e}G \triangleright H_1 \triangleright H_2 \triangleright \dots \triangleright \{e\}G▹H1​▹H2​▹⋯▹{e}。该链条中每个环节均可通过商群表示，且所有商群 $G/H_1,H_1/H_2,\dots$ 均为单群。

Jordan-Galois 定理

若当重新表述了伽罗瓦的证明过程：

一个方程可用根式解，当且仅当其伽罗瓦群的合成列中，所有单群均为最简单的循环群。
五次对称群 $S_5$ 包含交错群 $A_5$，$A_5$ 是含 60 个元素的单群，但并非循环群。
因此，$S_5$ 不可解，五次方程无根式解！

Dedekind-Galois 理论

若当的工作已臻完善，但仍局限于“根的置换”这一经典视角，应用范围有限。要拓展至更广阔的数学领域，需突破解方程的传统桎梏。理查德·戴德金（Richard Dedekind）不再聚焦于多项式的根，转而探索更根本的代数结构。他在刘维尔的研究基础上探索代数数，并系统引入并发展了 Körper 与 Ideal 的概念。1894 年，在对狄利克雷数论讲义的第四版补编中，戴德金提出了全新的伽罗瓦理论框架。

Field

戴德金首先定义了 Körper，即如今的“域”。域是一个数集，在该集合内可自由进行加、减、乘、除运算，且运算结果始终属于该集合。有理数域 $\mathbb{Q}$ 是最简单的域示例。

Field Extension

原始伽罗瓦理论中的 adjonction，在戴德金的框架中演变为“域扩张”。例如，在 $\mathbb{Q}$ 中添加 $\sqrt{2}$，可得到新的更大域 Q(2)={a+b2∣a,b∈Q}\mathbb{Q}(\sqrt{2}) = \{a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Q}\}Q(2​)={a+b2​∣a,b∈Q}。这一过程是从基域 $K$ 到扩张域 $L$ 的拓展，记为 $L/K$。

戴德金将伽罗瓦理论重新表述为域扩张 $L/K$ 与其自同构群 $\text{Gal}(L/K)$ 之间的关系。该群由 $L$ 中所有保持基域 $K$ 元素不变的自同构构成，而自同构是一种保持加法与乘法运算的对称变换。这一转变具有决定性意义，使伽罗瓦理论从“根的置换”视角转向“域的对称性”视角。在该视角下，解方程的过程本质上是从系数所在的域 $\mathbb{Q}$ 出发，通过逐步添加根，构建一系列域扩张的过程。

Ideal

戴德金在研究代数整数时引入“理想”概念。在环中，理想是一个特殊子集，不仅对加法封闭，还能吸收来自环的任意乘法运算。戴德金的思路是：研究代数对象需从其内部子结构入手。这一思想引导他深入探索域扩张的内部结构，使伽罗瓦理论摆脱了对具体多项式的依赖，变得更具普适性与强大生命力。

Dedekind-Galois 定理

戴德金以域论为基础重写了伽罗瓦理论：

若一个方程在基域 $K$ 上根式可解，则其所有根必存在于某个最终域 $L_m$ 中。该域通过根式扩张塔 $K=L_0\subset L_1\subset L_2\subset \cdots \subset L_m$ 构建而成。其中，每一步扩张 $L_{i+1}/L_i$ 均通过添加 $L_i$ 中某元素的 $p_i$ 次根实现，即 $L_{i+1}=L_i(\sqrt[p_i]{a_i})$（$a_i\in L_i$）。若操作得当，根式扩张 $L_{i+1}/L_i$ 对应的伽罗瓦群 $\text{Gal}(L_{i+1}/L_i)$ 为循环群。

根据若尔当-霍尔德尔定理，若方程的伽罗瓦群 $\text{Gal}(L_m/K)$ 对应此类根式扩张塔，则其本身必为可解群，即该群可分解为一系列循环群。由于 $S_5$ 包含交错群 $A_5$，而 $A_5$ 是含 60 个元素的非循环单群，因此 $S_5$ 不是可解群。综上，五次方程不存在通用根式解法。

Artin-Galois 理论

1920 年，以埃米·诺特（Emmy Noether）为代表的哥廷根学派掀起了代数学革命。该学派倡导公理化方法，以群、环、域、模等基本结构为起点，重构整个代数学体系。初出茅庐的埃米尔·阿廷（Emil Artin）在这一背景下，运用线性代数工具将域扩张视为向量空间，完成了伽罗瓦理论的现代化重塑，最终形成教科书版本的伽罗瓦定理：

有限扩张 $L/K$ 为伽罗瓦扩张，当且仅当其对称性 $\text{Gal}(L/K)$ 的阶恰好等于扩张次数 $[L:K]$。对于有限伽罗瓦扩张 $L/K$，其伽罗瓦群 $\text{Gal}(L/K)$ 的所有子群，与 $K$ 和 $L$ 之间的所有中间域存在一一对应关系。子群 $H$ 是 $G=\text{Gal}(L/K)$ 的正规子群，当且仅当 $H$ 对应的中间域 $M$ 是 $K$ 上的伽罗瓦扩张。此时，商群 $G/H$ 与伽罗瓦群 $\text{Gal}(M/K)$ 同构。

多项式 $f(x)\in K[x]$ 根式可解，当且仅当其分裂域 $E$ 包含于某个根式扩张塔的顶端。此类扩张 $E/K$ 称为可解扩张。综上，有限扩张为可解扩张，当且仅当其伽罗瓦群为可解群。

这一对应关系被称为“伽罗瓦对应”，其内涵包括：群论中的每个概念，在域论中均有精确对应物；群的子群对应域的扩张；子群的包含关系对应域的包含关系；正规子群对应中间的伽罗瓦扩张。该定理将伽罗瓦最初局限于方程、根与置换的复杂思想，精炼为关于对称性与结构的优雅普适论题。此后，群论正式成为专门研究对称性的独立学科。

以下用现代化语言重新证明五次方程不可解：

若扩张可解，则其可嵌入某个根式塔。根据伽罗瓦基本定理，该扩张塔对应伽罗瓦群的一个子群链，且每个商群均为阿贝尔群。即伽罗瓦群可解的充要条件是存在一个阿贝尔商的子群链。该群链可反向转化为中间域塔，每一步均为阿贝尔扩张，而阿贝尔扩张可通过添加根式生成。一般五次方程的伽罗瓦群为 $S_5$，由于 $S_5$ 不可解，其分裂域并非可解扩张。因此，一般五次方程的根无法用根式表示。>

Grothendieck-Galois 理论

经典伽罗瓦理论在代数闭域 $\mathbb{C}$ 上成效显著，但在数论问题研究中遭遇瓶颈。在有理数域 $\mathbb{Q}$ 或有限域 ${\mathbb{F}}_p$ 上研究方程时，拓扑学工具几乎完全失效，因其通常拓扑为平凡拓扑。如何为这些算术几何对象寻找合适的基本群，以替代拓扑学中的基本群？

亚历山大·格罗滕迪克将伽罗瓦思想提升至前所未有的抽象高度，目标是在最广泛的代数几何背景下重建整个理论。格罗滕迪克采用高度抽象的范畴论（Category Theory）语言，将伽罗瓦对应从“群的子群与域的子域”的对应，提升至全新维度。他的研究对象不再是域，而是更一般的几何对象——概形（Scheme）。

概形是将几何空间与交换环紧密结合的统一概念，可视为由方程定义的空间，但允许系数环为任意交换环。这使得人们能在统一框架下研究定义于 $\mathbb{C}$、$\mathbb{Q}$、${\mathbb{F}}_p$ 甚至整数环 $\mathbb{Z}$ 上的几何对象。为克服普通拓扑的局限性，格罗滕迪克发明了全新的étale 拓扑。该拓扑不由开集定义，而由étale 态射定义——étale 态射可直观理解为无分支的代数覆叠，是拓扑学中覆叠空间在代数几何中的推广。

随后，他定义了概形的代数基本群，即étale 基本群 ${\pi }_1^{\text{eˊt}}(X,x)$。这是一个庞大的投射有限群（Profinite Group），统领了 $X$ 所有可能的有限étale 覆叠，包含概形所有有限代数覆叠的信息。当 $X=\text{Spec}(K)$ 时，${\pi }_1^{\text{eˊt}}(X)$ 即为该域的绝对伽罗瓦群 $\text{Gal}(K_s/K)$，也就是其可分闭包上的伽罗瓦群；当 $X$ 是复数域上的光滑代数簇时，${\pi }_1^{\text{eˊt}}(X)$ 是其拓扑基本群 ${\pi }_1^{\text{top}}(X)$ 的投射有限完备化。

格罗滕迪克理论建立了宏大的伽罗瓦对应：étale 基本群的有限商群，与概形 $X$ 的所有有限étale 覆叠之间存在一一对应。这一理论极具威力，将经典伽罗瓦理论、拓扑覆叠空间理论、代数数论中的类域论等多个领域，统一于一个宏伟框架之下。

我们不再将 $t^5-t+x=0$ 视为关于变量 $t$ 的方程，而是将其看作一种函数关系，它定义了一个几何对象。想象一条代表所有可能 $x$ 值的直线，在代数几何中被称为仿射直线 ${\mathbb{A}}_x^1$。对于每个 $x$ 值，方程 $t^5-t+x=0$ 存在 5 个可能重复的复数解 $t$，所有这些解 $(x,t)$ 构成一个新的、更复杂的几何空间 $X$。

存在一个自然映射 $p:X\to {\mathbb{A}}_x^1$，它将点 $(x,t)$ 投影至 $x$。该结构 $(X,p,{\mathbb{A}}_x^1)$ 在几何上被称为纤维丛（Fiber Bundle）或覆叠空间（Covering Space）。对于底空间 ${\mathbb{A}}_x^1$ 上的每个点 $x$，其上方的纤维 $p^{-1}(x)$ 即为方程的 5 个根。当沿着底空间 ${\mathbb{A}}_x^1$ 上的路径移动时，上方的 5 根纤维会连续跟随移动并发生置换。对于五次方程，其伽罗瓦群 $S_5$ 正是这个覆叠 $p:X\to {\mathbb{A}}_x^1$ 的单值群（Monodromy Group）。该群恰好是底空间去掉一些使根重合的“坏点”后，代数基本群的一个商群。简单来说，$S_5$ 描述了当在底空间上绕圈时，方程的 5 个根如何相互置换。

一个方程根式可解，在几何上意味着它定义的复杂覆叠空间 $X\to {\mathbb{A}}_x^1$，可分解（factorized）为一串简单循环覆叠（cyclic coverings）：$X\stackrel{p_k}{\to }{X}_{k-1}\stackrel{p_{k-1}}{\to }\cdots \stackrel{p_2}{\to }{X}_1\stackrel{p_1}{\to }{\mathbb{A}}_x^1$。其中每一步 $p_i$ 都是形如 $y^n=z$ 的简单循环覆叠。

这在群论上的直接反映是，总的单值群（即伽罗瓦群）必须是可解群。而五次方程 $t^5-t+x=0$ 对应的覆叠 $p:X\to {\mathbb{A}}_x^1$，其由 $S_5$ 控制的几何结构具有刚性，无法分解为一串简单循环覆叠。因此，五次方程无根式解。

综上，结论始终一致，但视角截然不同：经典伽罗瓦理论认为，五次方程根的对称结构 $S_5$ 过于复杂，无法用根式运算这种简单代数工具拆解；格罗滕迪克-伽罗瓦理论认为，五次方程的解构成的 $S_5$ 覆叠几何空间，其拓扑结构过于复杂，无法通过循环覆叠这种基本几何构件搭建。

伽罗瓦理论源于 19 岁的伽罗瓦，却又不止于 19 岁的伽罗瓦。它还凝聚了巅峰时期刘维尔、若当、戴德金、阿廷的贡献，以及无数默默无闻的引理证明者的心血。伽罗瓦理论是如此宏大的学科，初学者难以理解实属正常，即便专业研究者也不敢宣称完全精通。

往小了说，即便伽罗瓦理论的初衷是解高次代数方程，如今仍有诸多谜团未解，例如七次方程的相关问题至今尚无明确答案。往大了说，数论的圣杯——绝对伽罗瓦群，其结构诡异而神秘，仿若克苏鲁般令人费解。伽罗瓦理论就像一个圆，懂得越多，越能感知未知的广阔。

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Hungerford 对 Galois 理论基本定理的证明

Skadiologist 发布于 2019-08-14 17:34

因篇幅限制，假定读者已熟悉有限群论、环论的基本内容，以及简单扩张与代数扩张的性质。

Galois 理论基本定理建立了域扩张与群论之间的深刻联系，将群论工具引入域论研究，为后续五次方程不可根式解的证明奠定了基础。首先给出相关基本定义：

基本定义

Definition 1. 域扩张

设 $F,K$ 为域，且 $F\subset K$，则称 $K$ 为 $F$ 的域扩张，记为 $K/F$。

该记号与商环记号不产生混淆，因域仅有平凡理想，“模”子域无定义意义。

Definition 2. 扩张次数 $[K:F]$

将 $K$ 作为 $F$ 上向量空间的维数 ${\dim }_{F}K$ 记为 $[K:F]$，称为域扩张 $K/F$ 的次数。

Definition 3. Galois 群

设 $\mathrm{Aut}(K)$ 为 $K$ 上全体域自同构构成的集合，其对映射复合运算构成群。若 $F$ 为 $K$ 的子域，且 $K$ 上的域自同构同时是 $F$-向量空间 $K$ 的线性映射，则称该自同构为 $F$-自同构。全体 $F$-自同构构成 $\mathrm{Aut}(K)$ 的子群，记为 ${\mathrm{Aut}}_{F}K$ 或 $\mathrm{Gal}(K/F)$，称为域扩张 $K/F$ 的 Galois 群。

Definition 4. 固定域与 Galois 扩张

$\mathrm{Gal}(K/F)$ 在 $K$ 上有自然群作用，其固定域定义为 KGal(K/F)={u∈K∣∀σ∈Gal(K/F),σ(u)=u}K^{\mathrm{Gal}(K/F)} = \{ u \in K \mid \forall \sigma \in \mathrm{Gal}(K/F),\ \sigma(u) = u \}KGal(K/F)={u∈K∣∀σ∈Gal(K/F), σ(u)=u}，易证固定域为 $K$ 的子域，且 $F\subset K^{\mathrm{Gal}(K/F)}$。若 $F=K^{\mathrm{Gal}(K/F)}$，则称 $K/F$ 为 Galois 扩张。

Theorem 5. 中间域与子群的对应关系

考虑域扩张 $K/F$，有如下结论：

1. 对任意中间域 $E$（满足 $F\subset E\subset K$），有 $\mathrm{Gal}(K/E)\le \mathrm{Gal}(K/F)$；
2. 对 $\mathrm{Gal}(K/F)$ 的任意子群 $H$，其固定域 $K^H$ 为 $K/F$ 的中间域（即 $F\subset K^H\subset K$）。

该定理表明，域扩张的中间域与 Galois 群的子群存在对应关系，称为 Galois 对应。Galois 理论基本定理进一步揭示了这一对应的深刻性质。

Theorem 6. Galois 理论基本定理

设 $K/F$ 为有限维 Galois 扩张，则：

1. $K/F$ 的中间域与 $\mathrm{Gal}(K/F)$ 的子群一一对应，且两个中间域的相对次数等于对应子群的相对指数，特别地，$|\mathrm{Gal}(K/F)|=[K:F]$；
2. 对任意中间域 $E$，$K/E$ 为 Galois 扩张；$E/F$ 为 Galois 扩张当且仅当 $\mathrm{Gal}(K/E)⊴\mathrm{Gal}(K/F)$，此时有同构 $\frac{\mathrm{Gal}(K/F)}{\mathrm{Gal}(K/E)}\cong \mathrm{Gal}(E/F)$。

对于中间域和 Galois 子群之间的一一对应关系，Hungerford 使用了所谓"prime notation"来简化记号，简单说就是：

• 对域扩张的中间域 $E$ （即 $F\subset E\subset K$），我们记它对应的 Galois 群的子群：
  E′:=Gal(K/E)={σ∈Gal(K/F):∀u∈E(σ(u)=u)}E' := \text{Gal}(K/E) = \{ \sigma \in \text{Gal}(K/F) : \forall u \in E (\sigma(u) = u) \}E′:=Gal(K/E)={σ∈Gal(K/F):∀u∈E(σ(u)=u)}
• 对 Galois 群的子群 $H$，我们记它所固定的中间域：
  H′:=KH={u∈K:∀σ∈H(σ(u)=u)}H' := K^H = \{ u \in K : \forall \sigma \in H (\sigma(u) = u) \}H′:=KH={u∈K:∀σ∈H(σ(u)=u)}

在这种记号之下，对于域扩张链 $F\subset L\subset M\subset K$，它对应一个 Galois 群的子群链：$K^{\prime }\subset M^{\prime }\subset L^{\prime }\subset F^{\prime }$，当然反过来也是成立的。

Lemma 7. Prime 对应的基本性质

设 $L\subset M$ 为 $K/F$ 的中间域，$H<J$ 为 $\mathrm{Gal}(K/F)$ 的子群，则：

1. {e}′=K\{ e \}' = K{e}′=K，K′={e}K' = \{ e \}K′={e}，$F^{\prime }=\mathrm{Gal}(K/F)$；
2. 若 $K/F$ 为 Galois 扩张，则 $\mathrm{Gal}(K/F{)}^{\prime }=F$；
3. $L\subset M⟹M^{\prime }<L^{\prime }$，$H<J⟹J^{\prime }\subset H^{\prime }$；
4. $L\subset L^{\prime \prime }$，$H<H^{\prime \prime }$；
5. $L^{\prime }=L^{\prime \prime \prime }$，$H^{\prime }=H^{\prime \prime \prime }$。

（证明：由定义直接验证，此处略去。）

Definition 8. 闭域与闭子群

满足 $L=L^{\prime \prime }$的中间域 $L$称为闭域，满足 $H=H^{\prime \prime }$的子群 $H$称为闭子群（该术语为 Hungerford 专用，非通用表述）。

闭域与闭子群的定义（基于 Hungerford 的 Prime 记号体系）

在 Hungerford 提出的 Prime 记号对应框架下，基于“中间域 - 子群”的双向映射关系，可定义如下概念：

设域扩张为 $F\subseteq K$，$L$为该扩张的中间域（即 $F\subseteq L\subseteq K$），$H$为 Galois 群 $\text{Gal}(K/F)$的子群。记 Prime 记号的双向映射为：

• 对中间域 $L$，$L^{\prime }=\text{Gal}(K/L)$（固定 $L$的 $K$自同构群，为 $\text{Gal}(K/F)$的子群）；
• 对子群 $H$，$H^{\prime }=K^H$（$K$中被 $H$中所有自同构固定的元素集合，为 $F\subseteq K$的中间域）。

基于上述映射的复合运算，可给出如下定义：

1. 闭域：若中间域 $L$满足 $L=L^{\prime \prime }$（其中 $L^{\prime \prime }=(L^{\prime }{)}^{\prime }$，即对 $L$先作 Prime 映射得到子群 $L^{\prime }$，再对 $L^{\prime }$作 Prime 映射得到的中间域与原中间域 $L$重合），则称 $L$为该 Prime 记号体系下的闭域。

2. 闭子群：若子群 $H$满足 $H=H^{\prime \prime }$（其中 $H^{\prime \prime }=(H^{\prime }{)}^{\prime }$，即对子群 $H$先作 Prime 映射得到中间域 $H^{\prime }$，再对 $H^{\prime }$作 Prime 映射得到的子群与原群 $H$重合），则称 $H$为该 Prime 记号体系下的闭子群。

注：“闭域” 与 “闭子群” 是 Hungerford 在其《Algebra》中为简化表述所采用的专用术语，并非抽象代数领域的通用标准术语。在通用文献中，此类概念通常需结合 Galois 扩张的自反性性质进行描述，或称为 “Galois 对应下的自反对象”。

第一部分证明：一一对应与次数/指数关系

将基本定理第一部分的证明分解为三个引理：

Lemma 9. 中间域次数与子群指数的不等式

设 $L\subset M$ 为 $K/F$ 的中间域，且 $[M:L]$ 有限，则 $[L^{\prime }:M^{\prime }]\le [M:L]$。
（注：左侧为子群相对指数，右侧为域扩张相对次数。）

Proof. 对 $[M:L]=n$ 做数学归纳法：

1. 当 $n=1$ 时，$M=L$，故 $M^{\prime }=L^{\prime }$，$[L^{\prime }:M^{\prime }]=1=[M:L]$，结论成立；
2. 假设结论对所有次数小于 $n$ 的扩张成立。取 $u\in M\setminus L$，因 $[M:L]$ 有限，$M/L$ 为代数扩张，设 $u$ 在 $L$ 上的最小多项式为 $f\in L[x]$，$\mathrm{deg}f=k$，则 $[L(u):L]=k$；
3. 由塔律，$[M:L(u)]=\frac{[M:L]}{[L(u):L]}=\frac{n}{k}$：

   • 若 $k<n$，则 $\frac{n}{k}<n$，由归纳假设 $[L^{\prime }:L(u{)}^{\prime }]\le k$ 且 $[L(u{)}^{\prime }:M^{\prime }]\le \frac{n}{k}$，故 $[L^{\prime }:M^{\prime }]=[L^{\prime }:L(u{)}^{\prime }]\cdot [L(u{)}^{\prime }:M^{\prime }]\le k\cdot \frac{n}{k}=n$；

   • 若 $k=n$，则 $M=L(u)$。设 $S$ 为 $M^{\prime }$ 在 $L^{\prime }$ 中的左陪集族，$T$ 为 $f$ 在 $M$ 中的互异根集，定义映射 $\sigma :S\to T$，$\tau M^{\prime }\mapsto \tau (u)$；

   • 验证映射良定义且单射：

     $\begin{array}{rl}\tau (u)={\tau }_0(u)& ⟺{\tau }_0^{-1}\tau (u)=u\\ & ⟺{\tau }_0^{-1}\tau \in M^{\prime }\\ & ⟺\tau M^{\prime }={\tau }_0{M}^{\prime }\end{array}$

     故 $|S|\le |T|\le n$，即 $[L^{\prime }:M^{\prime }]\le n$。

     综上，引理得证。QED.

Lemma 10. 子群指数与中间域次数的不等式

设 $K/F$ 为有限域扩张，$H<J$ 为 $\mathrm{Gal}(K/F)$ 的子群，且 $[J:H]$ 有限，则 $[H^{\prime }:J^{\prime }]\le [J:H]$。
（注：左侧为域扩张相对次数，右侧为子群相对指数。）

Proof. 反证法：设 $[J:H]=n$，假设 $[H^{\prime }:J^{\prime }]\ge n+1$，则存在 $u_1,u_2,\dots ,u_{n+1}\in H^{\prime }$ 在 $J^{\prime }$ 上线性无关；

1. 设 $J={\bigcup }_{i=1}^n{\tau }_{i}H$ 为左陪集分解（${\tau }_1\in H$），考虑线性方程组：
   $$\left(\begin{array}{cccc}{\tau }_1(u_1)& {\tau }_1(u_2)& \dots & {\tau }_1(u_{n+1})\\ {\tau }_2(u_1)& {\tau }_2(u_2)& \dots & {\tau }_2(u_{n+1})\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ {\tau }_n(u_1)& {\tau }_n(u_2)& \dots & {\tau }_n(u_{n+1})\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_{n+1}\end{array}\right)=0$$
   系数矩阵将 $K^{n+1}$ 映入 $K^n$，非单射，故存在非平凡解。设解空间中最小维数非平凡子空间的维数为 $r$，取解 $(1_K,a_2,\dots ,a_r,0,\dots ,0)$；
2. 因 $u_1,\dots ,u_{n+1}$ 线性无关，若 $a_2,\dots ,a_r\in J^{\prime }$ 则矛盾，故不妨设 $a_2\notin J^{\prime }$，存在 $\sigma \in J$ 使得 $\sigma (a_2)\ne a_2$；
3. 定义 $\sigma$ 对方程组的作用，得到新方程组：
   $$\left(\begin{array}{ccc}\sigma {\tau }_1(u_1)& \dots & \sigma {\tau }_1(u_{n+1})\\ ⋮& & ⋮\\ \sigma {\tau }_n(u_1)& \dots & \sigma {\tau }_n(u_{n+1})\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_{n+1}\end{array}\right)=0$$
   该方程组与原方程组等价（左陪集划分不变），故 $(\sigma (1_K),\sigma (a_2),\dots ,\sigma (a_r),0,\dots ,0)$ 为解；
4. 两解相减得解 $(0,\sigma (a_2)-a_2,\dots ,\sigma (a_r)-a_r,0,\dots ,0)$，其张成子空间维数 $\le r-1$，与 $r$ 的最小性矛盾。
   故假设不成立，$[H^{\prime }:J^{\prime }]\le n$。QED.

Lemma 11. 闭集的次数/指数等式

1. 设 $L\subset M$ 为 $K/F$ 的中间域，若 $L$ 为闭域且 $[M:L]$ 有限，则 $M$ 为闭域，且 $[M:L]=[L^{\prime }:M^{\prime }]$；
2. 设 $H<J$ 为 $\mathrm{Gal}(K/F)$ 的子群，若 $H$ 为闭子群且 $[J:H]$ 有限，则 $J$ 为闭子群，且 $[J:H]=[H^{\prime }:J^{\prime }]$。

Proof. 仅证 (1)，(2) 对偶可证：

由 $L=L^{\prime \prime }$，结合 Lemma 9 与 Lemma 10，得

$[M^{\prime \prime }:L]=[M^{\prime \prime }:L^{\prime \prime }]\le [L^{\prime }:M^{\prime }]\le [M:L]$；

由 Lemma 7(4)，$M\subset M^{\prime \prime }⟹[M:L]\le [M^{\prime \prime }:L]$；
故 $[M:L]=[M^{\prime \prime }:L]$，结合 $M\subset M^{\prime \prime }$ 得 $M=M^{\prime \prime }$，且 $[M:L]=[L^{\prime }:M^{\prime }]$。QED.

第一部分证明完成

Proof of part 1 of the fundamental theorem:

1. 因 $K/F$ 为 Galois 扩张，由 Definition 4 与 Lemma 7(2)，$F=F^{\prime \prime }$，即 $F$ 为闭域；
2. 对任意中间域 $E$，$[E:F]$ 有限（因 $[K:F]$ 有限），由 Lemma 11(1)，$E=E^{\prime \prime }$，即所有中间域为闭域；
3. $\mathrm{Gal}(K/F)$ 为有限群（$|\mathrm{Gal}(K/F)|\le [K:F]$），由 Lemma 7(1)，{e}={e}′′\{ e \} = \{ e \}''{e}={e}′′，即 {e}\{ e \}{e} 为闭子群；
4. 对任意子群 $H\le \mathrm{Gal}(K/F)$，$[\mathrm{Gal}(K/F):H]$ 有限，由 Lemma 11(2)，$H=H^{\prime \prime }$，即所有子群为闭子群；
5. 闭域与闭子群的一一对应由 Lemma 7(3)(4) 保证，次数与指数的等式由 Lemma 11 直接可得，特别地，$|\mathrm{Gal}(K/F)|=[K:F]$。
   QED.

第二部分证明：正规性与同构关系

Definition 12. 稳定域

设 $F\subset E\subset K$ 为域扩张，若对任意 $\sigma \in \mathrm{Gal}(K/F)$ 有 $\sigma (E)\subset E$，则称 $E$ 为 $K/F$ 的稳定域（类比线性代数中的不变子空间）。

Lemma 13. 稳定域与正规子群的对应

设 $F\subset E\subset K$ 为域扩张，则：

1. 若 $E$ 为稳定域，则 $\mathrm{Gal}(K/E)⊴\mathrm{Gal}(K/F)$；
2. 若 $H⊴\mathrm{Gal}(K/F)$，则 $K^H$ 为稳定域。

Proof.
(1) 对 $\sigma \in \mathrm{Gal}(K/F)$，$\tau \in \mathrm{Gal}(K/E)$，$u\in E$：
由 $E$ 稳定，$\sigma (u)\in E$，故 $\tau (\sigma (u))=\sigma (u)$，即 $({\sigma }^{-1}\tau \sigma )(u)=u$；
因此 ${\sigma }^{-1}\tau \sigma \in \mathrm{Gal}(K/E)$，即 $\mathrm{Gal}(K/E)⊴\mathrm{Gal}(K/F)$。

(2) 对 $u\in K^H$，$\sigma \in \mathrm{Gal}(K/F)$，$\tau \in H$：
由 $H⊴\mathrm{Gal}(K/F)$，${\sigma }^{-1}\tau \sigma \in H$，故 $({\sigma }^{-1}\tau \sigma )(u)=u$，即 $\tau (\sigma (u))=\sigma (u)$；

因此 $\sigma (u)\in K^H$，即 $K^H$ 为稳定域。QED.

Lemma 14. Galois 扩张与稳定域的等价性

设 $K/F$ 为有限维 Galois 扩张，$E$ 为中间域，则 $E/F$ 为 Galois 扩张当且仅当 $E$ 为 $K/F$ 的稳定域。

Proof.
" $\Leftarrow$"（稳定域 ⇒ Galois 扩张）：
对任意 $u\in E\setminus F$，因 $K/F$ 为 Galois 扩张，存在 $\sigma \in \mathrm{Gal}(K/F)$ 使得 $\sigma (u)\ne u$；
由 $E$ 稳定，$\sigma (u)\in E$，故 $\sigma {|}_E\in \mathrm{Gal}(E/F)$ 且 $\sigma {|}_E(u)\ne u$，即 $E^{\mathrm{Gal}(E/F)}=F$，因此 $E/F$ 为 Galois 扩张。

" $\Rightarrow$"（Galois 扩张 ⇒ 稳定域）：
因 $E/F$ 为有限维 Galois 扩张，故为代数扩张。对 $u\in E$，设其在 $F$ 上的最小多项式为 $f\in F[x]$，$f$ 在 $E$ 中的互异根为 $u_1,u_2,\dots ,u_r$，定义 $g(x)={\prod }_{i=1}^r(x-u_i)\in E[x]$；
对 $\tau \in \mathrm{Gal}(E/F)$，$\tau (u_i)$ 仍为 $f$ 的根，故 $\tau \cdot g(x)={\prod }_{i=1}^r(x-\tau (u_i))=g(x)$，即 $g$ 的系数在 $\mathrm{Gal}(E/F)$ 的作用下不变；
因 $E/F$ 为 Galois 扩张，$g$ 的系数必属于 $F$（否则存在系数 $c\in E\setminus F$ 使得 $\tau (c)\ne c$，导致 $\tau \cdot g\ne g$，矛盾），故 $g\in F[x]$；
由 $f$ 不可约且 $g(u)=0$，得 $f\mid g$，又 $\mathrm{deg}g=r\le \mathrm{deg}f$，故 $f=g$，即 $f$ 在 $E$ 中分裂；
对任意 $\sigma \in \mathrm{Gal}(K/F)$，$\sigma (u)$ 为 $f$ 的根（因 $\sigma (f(u))=f(\sigma (u))=0$），而 $f$ 在 $E$ 中分裂，故 $\sigma (u)\in E$，因此 $E$ 为稳定域。QED.

第二部分证明完成

Proof of part 2 of the fundamental theorem:

1. 由 Lemma 13 与 Lemma 14，$E/F$ 为 Galois 扩张 $⟺E$ 为稳定域 $⟺\mathrm{Gal}(K/E)⊴\mathrm{Gal}(K/F)$；
2. 设 $\mathrm{Gal}(K/E)⊴\mathrm{Gal}(K/F)$，定义群同态 $\phi :\mathrm{Gal}(K/F)\to \mathrm{Gal}(E/F)$，$\sigma \mapsto \sigma {|}_E$；
3. 计算同态核：ker⁡φ={σ∈Gal(K/F)∣σ∣E=idE}=Gal(K/E)\ker \varphi = \{ \sigma \in \mathrm{Gal}(K/F) \mid \sigma|_E = \mathrm{id}_E \} = \mathrm{Gal}(K/E)kerφ={σ∈Gal(K/F)∣σ∣E​=idE​}=Gal(K/E)；
4. 由群第一同构定理，$\frac{\mathrm{Gal}(K/F)}{\mathrm{Gal}(K/E)}\cong \mathrm{im}\phi \le \mathrm{Gal}(E/F)$；
5. 计算阶数：$|\mathrm{im}\phi |=\frac{|\mathrm{Gal}(K/F)|}{|\mathrm{Gal}(K/E)|}=\frac{[K:F]}{[K:E]}=[E:F]$（由第一部分结论）；
6. 因 $E/F$ 为 Galois 扩张，$|\mathrm{Gal}(E/F)|=[E:F]$，故 $\mathrm{im}\phi =\mathrm{Gal}(E/F)$，即 $\frac{\mathrm{Gal}(K/F)}{\mathrm{Gal}(K/E)}\cong \mathrm{Gal}(E/F)$。
   QED.

补充说明

Remark. 正规扩张的性质

定义（正规扩张）：设 $K/F$ 是一个域扩张。如果对于 $F[x]$ 中的任意既约多项式 $f$，只要 $f$ 在 $K$ 中有一个根 $u$（即存在 $u\in K$ 使得 $f(u)=0$），那么 $f$ 就可以在 $K[x]$ 中完全分解为线性因子的乘积，即存在 $c_0\in K^{\ast }$（$K^{\ast }$ 表示 $K$ 中所有非零元素的集合）和 $u_1,u_2,\dots ,u_r\in K$ 使得：
$$f(x)=c_0(x-u_1)(x-u_2)\cdots (x-u_r)$$
其中 $r$ 是 $f$ 在 $F$ 上的分裂次数，即 $f$ 在 $F$ 上的不可约因子的个数。

由 Lemma 14 的证明可知，有限维 Galois 扩张必为正规扩张（其任意中间域的最小多项式在该中间域中分裂，进而在 $K$ 中分裂）。

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via:

• 为什么伽罗瓦 19 岁就发明的群论，绝大多数那个专业的研究生终其一生都学不会？ - 知乎
  https://www.zhihu.com/question/473033315
• Hungerford 对 Galois 理论基本定理的证明 - 知乎
  https://zhuanlan.zhihu.com/p/77937795