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【USACO25OPEN】It‘s Mooin‘ Time III B

news 2025/11/17 7:02:10

【USACO25OPEN】It’s Mooin’ Time III B

USACO 专栏：USACO 2025 OPEN
算法竞赛：二分，二分查找，枚举
题目链接：洛谷 P12024 [USACO25OPEN] It’s Mooin’ Time III B

题目描述：
Elsie 正在试图向 Bessie 描述她最喜欢的 USACO 竞赛，但 Bessie 很难理解为什么 Elsie 这么喜欢它。Elsie 说「现在是哞哞时间！谁想哞哞？请，我只想参加 USACO」。
Bessie 仍然不理解，于是她将 Elsie 的描述转文字得到了一个长为 $N$ （ $\leq N \leq 10^5$ ）的字符串，包含小写字母字符 $s1s2…sNs_1s_2 \ldots s_N$ 。Elsie 认为一个包含三个字符的字符串 $t$ 是一个哞叫，如果 $t_2 = t_3$ 且 $t2≠t1t_2 \neq t_1$ 。
一个三元组 $(i, j, k)$ 是合法的，如果 $i < j < k$ 且字符串 $s_i s_j s_k$ 组成一个哞叫。对于该三元组，FJ 执行以下操作计算其值：

FJ 将字符串 $s$ 在索引 $j$ 处弯曲 90 度
该三元组的值是 $Δijk\Delta ijk$ 的面积的两倍。

换句话说，该三元组的值等于 $(j - i) (k - j)$ 。
Bessie 向你进行 $Q$ （ $\leq Q \leq 3 \cdot 10^4$ ）个查询。在每个查询中，她给你两个整数 $l$ 和 $r$ （ $\leq l \leq r \leq N$ ， $\ge 3$ ），并询问满足 $\leq i$ 和 $\leq r$ 的所有合法三元组 $(i, j, k)$ 的最大值。如果不存在合法的三元组，输出 $- 1$ 。
注意这个问题涉及到的整数可能需要使用 64 位整数类型（例如，C/C++ 中的 long long）。

输入格式：
输入的第一行包含两个整数 $N$ 和 $Q$ 。
以下一行包含 $s1s2,…sNs_1 s_2, \ldots s_N$ 。
以下 $Q$ 行每行包含两个整数 $l$ 和 $r$ ，表示每个查询。
输出格式：
对于每一个查询输出一行，包含对于该查询的答案。

奶牛时间（三） It’s Mooin’ Time III B

题目大意

一个包含三个字符的字符串 $t[t_1,t_2,t_3]$ ，如果 $t_2 = t_3$ 且 $t2≠t1t_2 \neq t_1$ ，则字符串 $t$ 是一个哞叫。

一个三元组 $(i, j, k)$ ，如果 $i < j < k$ 且字符串 $s_i s_j s_k$ 组成一个哞叫，则这个三元组是合法的，该三元组的值等于 $(j - i) (k - j)$ 。

输入一个长为 $N$ （ $\leq N \leq 10^5$ ）的字符串，包含小写字母字符 $s1s2…sNs_1s_2 \ldots s_N$ 。

接下来会有 $Q$ （ $\leq Q \leq 3 \times 10^4$ ）个查询。在每个查询中，给出两个整数 $l$ 和 $r$ （ $\leq l \leq r \leq N$ ， $\ge 3$ ），并询问满足 $\leq i$ 和 $\leq r$ 的所有合法三元组 $(i, j, k)$ 的最大值。如果不存在合法的三元组，输出 $- 1$ 。

题目分析

这道题我们采用贪心策略和二分优化，在区间 $l∼rl\sim r$ 中，我们枚举这个区间中所出现过的字符 $c$ ，找两个位置 $i, j$ ，使 $s_i=s_j=c$ ，则 $s_i,s_j$ 就充当 $t_2,t_3$ ，对于 $t_2,t_3$ ，我们可以确定 $t_3$ 应为区间 $l∼rl\sim r$ 中最后一个字符 $c$ ，而 $t_2$ 应从区间 $l∼rl\sim r$ 第一个字符 $c$ 枚举到最后一个字符 $c$ 之前，在此过程中， $t_1$ 一直不变，即为区间 $l∼rl\sim r$ 中第一个不为 $c$ 的字符，每次取最大值更新答案。

解法步骤

将给出的字符串中出现的字符分类，统计每种字符出现的位置，在每次询问中，执行以下操作：
给出区间 $l∼rl\sim r$ ，遍历字符串中出现的每种字符 $c$ （即使在区间 $l∼rl\sim r$ 中没有出现过也无妨）；
找到区间 $l∼rl\sim r$ 中第一个与 $c$ 不相同的字符的位置，记录为 $site_1$ （枚举即可）；
找到区间 $l∼rl\sim r$ 中最后一个 $c$ 字符，记录其位置为 $site_3$ ，找到区间 $l∼rl\sim r$ 中第一个 $c$ 字符，记录其指针为 $i t$ ，指针 $i t$ 向后枚举（字符 $c$ 出现的位置）；
$i t$ 所指的位置即为 $site_2$ ，本次得到的三元组的值为 $num=(site3−site2)×(site2−site1)num=(site_3-site_2)\times (site_2-site_1)$ ，更新结果 $ans=max⁡(ans,num)ans=\max(ans,num)$ 。

代码指导

可以使用 vector 容器储存每种字符 $c$ 出现的位置，以方便二分查找。
可以使用语句 auto it=upper_bound(G[id].begin(),G[id].end(),l); 来找到区间中字符 $c$ 第一次出现的位置。
可以使用语句 auto itt=upper_bound(G[id].begin(),G[id].end(),r);itt--; 来找到区间中字符 $c$ 最后一次出现的位置。
在 $t_2$ 位置枚举过程中，可以添加语句 if ((long long)d*_d<=num) break;，表示如果当前的 $(site3−site2)×(site2−site1)(site_3-site_2)\times (site_2-site_1)$ 小于或等于已有的 $n u m$ 就可以不再继续枚举，因为 $t_2$ 位置越靠中间三元组的值越大。

AC Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5+10;
char s[N];
vector<int>G[N],K;
map<char,int>mp;
int main()
{int n,q,id=0;scanf("%d%d",&n,&q);scanf("%s",s+1);for (int i=1; i<=n; i++){if (!mp[s[i]]) mp[s[i]]=++id;G[mp[s[i]]].push_back(i);}for (int i=1; i<=n; i++) K.push_back(mp[s[i]]);sort(K.begin(),K.end());K.erase(unique(K.begin(),K.end()),K.end());while (q--){int l,r;long long ans=-1;scanf("%d%d",&l,&r);for (int id : K){long long num=-1;auto it=upper_bound(G[id].begin(),G[id].end(),l);auto itt=upper_bound(G[id].begin(),G[id].end(),r);itt--;int e=l;while (mp[s[e]]==id) e++;while (it!=itt&&it!=G[id].end()&&*it<=e) it++;while (it!=itt&&it!=G[id].end()){int d=*it-e;int _d=*itt-*it;if ((long long)d*_d<=num) break;num=max(num,(long long)d*_d);it++;}ans=max(ans,num);}printf("%lld\n",ans);}return 0;
}