2025大学生数学竞赛1-2（非数学类）

2.

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步骤一：设常数简化函数

设 $A={\int }_0^{1}f(x)dx$，则原函数

$$f(x)=x^3+x^2\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}-Ax.$$

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步骤二：分析极限 ${\lim }_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}$ 的存在性

因为 ${\lim }_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}$ 存在，所以 ${\lim }_{x\to 0}f(x)=0$。
将 $x=0$ 代入 $f(x)=x^3+x^2{\lim }_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}-Ax$，可得 $f(0)=0$，验证了 ${\lim }_{x\to 0}f(x)=0$ 的合理性。

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步骤三：计算极限 ${\lim }_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}$

对 ${\lim }_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}$ 进行计算：

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\left(x^2+x\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}-A\right).$$

设 $B={\lim }_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}$，则上式变为

$$B=\underset{x\to 0}{\lim }(x^2+xB-A).$$

当 $x\to 0$ 时，$x^2\to 0$，$xB\to 0$，所以

$$B=-A.$$

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步骤四：确定 $f(x)$ 的表达式

将 $B=-A$ 代入 $f(x)=x^3+x^2{\lim }_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}-Ax$，可得

$$f(x)=x^3-A{x}^2-Ax.$$

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步骤五：计算常数 $A$

对 $f(x)=x^3-A{x}^2-Ax$ 在 $[0,1]$ 上积分：

\begin{align*}
A &= \int_{0}^{1} (x^3 - A x^2 - A x) dx
&= \left[ \frac{1}{4} x^4 - \frac{A}{3} x^3 - \frac{A}{2} x^2 \right]_0^1
&= \frac{1}{4} - \frac{A}{3} - \frac{A}{2}.
\end{align*}

整理方程：

\begin{align*}
A + \frac{A}{3} + \frac{A}{2} &= \frac{1}{4}
\frac{6A + 2A + 3A}{6} &= \frac{1}{4}
\frac{11A}{6} &= \frac{1}{4}
A &= \frac{3}{22}.
\end{align*}

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步骤六：求出 $f(x)$

将 $A=\frac{3}{22}$ 代入 $f(x)=x^3-A{x}^2-Ax$，得到

$$f(x)=x^3-\frac{3}{22}{x}^2-\frac{3}{22}x.$$

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综上，最终答案为：

$$\boxed{f(x)=x^3-\frac{3}{22}{x}^2-\frac{3}{22}x}.$$