如何降低程序的时间复杂度，提高运行时效？

引言

在信息爆炸的时代，人们需要更快速、更简洁地传递信息。网络语言缩写（如“OMG”代表“Oh my God”）正好满足了这一需求，它让复杂的表达浓缩成简短符号，提升了沟通效率。作为算法工程师，我总是被这种“精炼”精神启发：在编程中，如何用最少的代码解决最复杂的问题？

今天，我们深入剖析一个典型的多测试用例算法题目：

• 给定长度为 $n$ 的数组 $a$，以及 $q$ 个查询，每个查询提供 $x$ 和 $y$，找出满足 $a_i+a_j=x$ 且 $a_i\cdot a_j=y$ 的数对 $(i,j)$（$1\le i<j\le n$）的数量。该题目涉及多组测试，约束严格（$\sum n,\sum q\le 2\times 10^5$），考验高效数据结构和数学优化的结合。
  这个问题的核心在于避免 $O(n^2)$ 暴力枚举，通过二次方程根求解转化为 $O(1)$ 查询。提供的 C++ 代码框架优秀，但存在浮点精度问题（sqrt 对大整数不精确），我会基于它进行优化，提供完整可运行版本。下面，从问题分析、数学推导，到代码实现，一步步拆解。
  问题分析
  问题描述

• 输入：
  第一行：整数 $t$（测试用例数，$1\le t\le 10^4$）。
  每个测试用例：
  第一行：整数 $n$（$1\le n\le 2\times 10^5$）。
  第二行：$n$ 个整数 $a_1,\dots ,a_n$（$|a_i|\le 10^9$）。
  第三行：整数 $q$（$1\le q\le 2\times 10^5$）。
  接下来 $q$ 行：每个两个整数 $x,y$（$|x|\le 2\times 10^9$，$|y|\le 10^{18}$）。

• 保证 $\sum n\le 2\times 10^5$，$\sum q\le 2\times 10^5$。

• 输出：每个测试用例，对于 $q$ 个查询，每行输出一个答案（数对数量）。
  示例（单测试用例简化）：
  $n=3$，数组 $[1,3,2]$，$q=1$，查询 $x=3,y=2$。
  分析：
  $i=1,j=2$: $1+3=4\ne 3$，$1\times 3=3\ne 2$。
  $i=1,j=3$: $1+2=3=3$，$1\times 2=2=2$（满足）。
  $i=2,j=3$: $3+2=5\ne 3$，$3\times 2=6\ne 2$。

• 答案：1

约束与挑战

• 多测试用例：需循环处理，但总规模 $O(\sum n+\sum q)$。
  大范围：$a_i$ 可负，$x^2-4y$ 可达 $\pm 8\times 10^{18}$，需 64 位整数（long long）。
  重复元素：需频率计数，处理组合 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{f}{2}\right)$。
  挑战：判别式 $d=x^2-4y$ 求整数平方根，避免浮点误差（double 精度仅至 $10^{15}$）。
  时间要求：总 $O((\sum n+\sum q)\log n)$ 可接受，使用 map 或 unordered_map。

• 为什么这个题目有趣？
  它将代数（二次方程）与数据结构（哈希计数）融合，体现了“缩写”般的算法美学：从海量数据中“浓缩”答案。实际场景如大数据匹配、密码学中的因式分解优化。
  数学推导：从方程到根求解
  给定 $a_i+a_j=x$，$a_i\cdot a_j=y$，则 $a_i,a_j$ 为方程 $t^2-xt+y=0$ 的根。

• 判别式：$d=x^2-4y$。
  若 $d<0$，无实根，答案 0。
  若 $d=0$，双根 $r=x/2$。若 $x$ 偶数且 $r$ 在数组中出现 $f$ 次，答案 $\frac{f(f-1)}{2}$。
  若 $d>0$，根 $r_1=\frac{x+\sqrt{d}}{2}$，$r_2=\frac{x-\sqrt{d}}{2}$。
  $\sqrt{d}$ 须为整数（完美平方），且 $x+\sqrt{d}$ 偶数（确保 $r_1,r_2$ 整数）。
  若 $r_1=r_2$，同上；否则，答案 $f_1\times f_2$。

优化关键：

• 预处理：用 map<long long, long long> 统计频率（支持负键）。
  查询：计算 $d$，用整数二分求 $\sqrt{d}$（避免浮点）。
  验证：$r_1+r_2=x$，$r_1\times r_2=y$（虽理论成立，但防计算误差）。

此法每个查询 $O(\log 10^9)$（二分求 sqrt），总时间 $O((\sum n+\sum q)\log n)$，高效。
解决方案设计
整体框架

• 预处理：每个测试用例清空 map，读 $n$ 个 $a_i$，计数频率 $O(n\log n)$。
  查询处理：读 $q$，对每个：
  计算 $d=x\ast x-4\ast y$（注意符号）。
  若 $d<0$，输出 0。
  二分求 $sd=\lfloor \sqrt{d}\rfloor$，检查 $sd\times sd==d$。
  若 $(x+sd)\%2==0$，计算 $r_1=(x+sd)/2$，$r_2=(x-sd)/2$。
  根据 $r_1==r_2$ 计算组合数。

• 边界处理：
  $d=0$: 特殊处理 $sd=0$。
  负 $d$: 跳过。
  溢出：C++ long long 乘法安全（$2\times 10^9\times 2\times 10^9=4\times 10^{18}<9\times 10^{18}$)。
  map vs unordered_map：map 稳定，支持负键；unordered_map 更快但需哈希。

时间与空间复杂度

• 时间：预处理 $O(\sum n\log n)$，查询 $O(\sum q\log 10^9)\approx O(2\times 10^5\times 30)=6\times 10^6$，优秀。
  空间：$O(\sum n)$，最坏 $2\times 10^5$。

潜在扩展

• 若 $a_i$ 非整数：退化为近似匹配，复杂度飙升。
  分布式：用 Redis 存频率。

代码实现

• 基于提供的代码框架，我优化了 sqrt 计算：引入整数二分求完美平方根，避免浮点误差。同时，添加 ios_base::sync_with_stdio(false) 加速 I/O，处理多测试用例。完整代码如下（使用 map 确保稳定性）：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;long long integer_sqrt(long long n) {if (n < 0) return -1;if (n == 0) return 0;long long l = 1, r = min(n, 3000000000LL); // sqrt(8e18) ~ 2.8e9while (l <= r) {long long m = l + (r - l) / 2;if (m <= n / m) {l = m + 1;} else {r = m - 1;}}return r; // floor(sqrt(n))
}int main() {ios_base::sync_with_stdio(false);cin.tie(NULL);int t;cin >> t;while (t--) {int n;cin >> n;map<long long, long long> cnt;for (int i = 0; i < n; i++) {long long number;cin >> number;cnt[number]++;}long long q;cin >> q;while (q--) {long long x, y, res = 0;cin >> x >> y;long long d = x * x - 4 * y;if (d < 0) {cout << 0 << '\n';continue;}long long sd = integer_sqrt(d);if (sd * sd != d) {cout << 0 << '\n';continue;}if ((x + sd) % 2 == 0) {long long r1 = (x + sd) / 2;long long r2 = (x - sd) / 2;if (r1 == r2) {res = cnt[r1] * (cnt[r1] - 1) / 2;} else {res = cnt[r1] * cnt[r2];}}cout << res << '\n';}}return 0;
}

代码解释

integer_sqrt：二分求 $\lfloor \sqrt{n}\rfloor$，时间 $O(\log 10^9)$。边界 $r=3\times 10^9$ 覆盖最大 $d$。
精确检查：sd * sd != d 过滤非完美平方（乘法安全，无溢出）。
I/O 优化：cin.tie(NULL) 加速大输入。
验证省略：数学上 $r_1,r_2$ 必满足原方程，但可加 if(r1 + r2 != x || r1 * r2 != y) res=0; 增强鲁棒。
测试：对于示例输入（t=1, n=3, a=[1,3,2], q=1, x=3 y=2），输出 1。适用于大 $d$ 如 $x=2\times 10^9,y=0$，$d=4\times 10^{18}$，sd=2e9。

结论

• 计算机的一切都是人赋予的，别人能做的事情，我也可以！没有天赋，就一直重复！