运动学模型推导 + 离散化 + 工程化版本（适用于前方单舵轮 AGV / 自动驾驶 / MPC）
目录
模型推导：
前言
一、自行车模型结构（Bicycle Model）
二、速度分解 —— 最关键的一步
三、无侧滑约束（No-Slip Constraint）
四、角速度推导（Yaw Rate）
五、世界坐标系下速度
六、最终连续时间模型（Continuous Model）
七、扩展输入：用加速度 & 转角速度作为控制量（工程常用）
1）转角速度解释：
2）为什么控制输入不是 δ 而是 δ˙
3）更工程的解释：转角速度 = 转向电机的目标速度
八、离散化（用于 MPC / 仿真 / 代码实现）
九、小角度线性化（用于 LQR、线性 MPC）
十、完整可复用模型总结（最终工程版）
1）连续时间模型（工程常用）：
2）离散时间模型（MPC 直接可用）：
3）小角度线性化（用于 LQR）
十一、 适用范围
1）使用本模型的情况
2）不适使用的情况
模型推导
在之前的章节里，我已经把 MPC 的核心数学结构推到了一遍：
离散模型 → 预测矩阵 X=Fxk+GU → 构造代价函数 → 变成一个标准二次规划（QP）问题
以及对 约束的设定 和 QP求解器的运用 进行的详细的讲解
具体文章见下：
MPC模型预测控制原理全解析：从状态预测、矩阵推导到QP求解与滚动优化（含完整手推过程）-CSDN博客
https://blog.csdn.net/m0_58954356/article/details/154781300?spm=1001.2014.3001.5501MPC 里的约束与 QP 求解器实战——从原理、例子到 C++ 落地-CSDN博客https://blog.csdn.net/m0_58954356/article/details/154830088?spm=1001.2014.3001.5501MPC模型预测控制：从基本概念到数学推导（基于 DR_CAN 课堂笔记整理）-CSDN博客https://blog.csdn.net/m0_58954356/article/details/154800788?spm=1001.2014.3001.5501
前言
运动学模型（Kinematic Bicycle Model）是自动驾驶中最常用的底层模型之一，它是如下算法的基础：
-
MPC（Model Predictive Control）
-
LQR 路径跟踪
-
Stanley / Pure Pursuit
-
Frenet 轨迹规划
-
Kalman Filter / 状态估计
-
AGV 前方单舵轮控制
然而，大多数资料只给出三行公式：
却没有讲清楚它们的来源、意义、适用范围以及工程化写法。
本文将一次讲透：
从几何 → 速度分解 → 无侧滑约束 → 世界系转换 → 离散化 → 工程实现 → AGV 单舵轮版本。
让你彻底搞懂运动学模型。
一、自行车模型结构（Bicycle Model）
将四轮车等效为：
-
后轴一个点
-
前轴一个点
-
轴距固定为 LLL
-
前轮可转向（角度 δf\delta_fδf）
-
后轮不可转向
车辆状态：
输入量（控制量）：
-
vr：车辆（后轮/车体）纵向速度
-
δf：前轮转角
二、速度分解 —— 最关键的一步
前轮打了角后，前轮速度方向不再与车体一致。
前轮速度 vfv_fvf 在车体坐标系分解：
从第一行：
代入第二行：
打方向盘后，车辆产生的“侧向速度分量”，也是车辆开始转弯的根本原因。
三、无侧滑约束（No-Slip Constraint）
轮胎允许沿自身方向滚动，但不允许横向滑动。
因此车辆绕某个瞬时圆心 ICR 运动。
几何关系：
得转弯半径：
四、角速度推导（Yaw Rate）
后轮速度：vr
绕圆心半径：R
所以角速度为：
代入上一步：
这是现代控制器（MPC/LQR）最常见的 yaw rate 模型。
五、世界坐标系下速度
车体速度 vr 方向与世界系的夹角为 φ ，所以：
六、最终连续时间模型（Continuous Model）
这是运动学自行车模型的标准形式。
七、扩展输入：用加速度 & 转角速度作为控制量（工程常用）
实际车辆 ECU 不能直接控制：
-
速度 vr（而是加速度 a）
-
转角 δf（而是转角速度 δ˙）
因此加入动力学状态：
扩展状态：
扩展模型：
这是自动驾驶 MPC 最常用的 非线性运动学模型。
1）转角速度解释：
转角速度 不是车的角速度（车身转弯的 Yaw rate）
而是：
方向盘打角的变化速度
也就是前轮转角 δ 时间导数
简单说：
-
δ：前轮当前打了多少角
-
δ˙：前轮“转向动作”变化的速度
就像…
-
人转方向盘时 → δ 在变化
-
你转得快一点 → δ˙ 大
-
你转得慢一点 → δ˙ 小
单位通常是：
-
rad/s（自动驾驶控制使用）
-
deg/s（汽车标定使用）
2）为什么控制输入不是 δ 而是 δ˙
因为真实车辆有转向执行器，包含：
-
电机
-
减速机
-
力反馈
-
机械限位
-
最大加速度/角速度
这些执行器不能让你“瞬间跳到某个转角”。
比如：
你不可能一下把方向盘从 0° 打到 30°，总要一个过程！
这个过程由转角速度 δ˙ 决定。
所以真实 ECU 接受的是：
| 控制量 | 含义 |
|---|---|
| a | 油门/刹车产生的加速度 |
| δ˙ | 转向执行器的角速度指令 |
而不是：
| 不直接控制 |
|---|
| v（车辆速度） |
| δ（方向盘角度） |
这些都是最终结果。
3）更工程的解释：转角速度 = 转向电机的目标速度
在 AGV / 无人叉车 / 汽车中，转角是通过“转向电机”驱动的。
电机控制里常见的闭环结构：
目标转角 δ_target
→ 误差 = δ_target - δ_measured
→ PID 控制
→ 得到需要的 转角速度 δ˙
→ 由伺服驱动器控制执行器
所以控制器给 ECU 的信号一般是：方向盘转速（电机角速度）
而不是：让方向盘瞬间转到 15°
因为那样不符合执行器的物理机制。
八、离散化（用于 MPC / 仿真 / 代码实现）
最常用离散化：Euler 前向差分
采样周期 T
如果带动态输入：
离散后的完整形式：
这是 MPC 一定要用的版本。
九、小角度线性化（用于 LQR、线性 MPC）
对于低速 & 小转角：
线性化得到：
线性模型可写成：
十、完整可复用模型总结
1）连续时间模型（工程常用）：
2）离散时间模型（MPC 直接可用）：
3）小角度线性化（用于 LQR）
十一、 适用范围
1）使用本模型的情况
-
低速（通常 < 10 m/s）
-
无明显侧滑（工厂 AGV 最完美适用）
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平面运动
-
转向角小于 30–35°
2）不适使用的情况
-
高速漂移
-
强侧偏力（需动力学模型）
-
轮胎受力主导的操控