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题意

比特镇的路网由 $m$ 条双向道路连接的 $n$ 个交叉路口组成。

最近，比特镇获得了一场铁人两项锦标赛的主办权。这场比赛共有两段赛程：选手先完成一段长跑赛程，然后骑自行车完成第二段赛程。

比赛的路线要按照如下方法规划：

1. 先选择三个两两互不相同的路口 $s$、$c$ 和 $f$，分别作为比赛的起点、切换点（运动员在长跑到达这个点后，骑自行车前往终点）、终点。
2. 选择一条从 $s$ 出发，经过 $c$ 最终到达 $f$ 的路径。考虑到安全因素，选择的路径经过同一个点至多一次。

在规划路径之前，镇长想请你帮忙计算，总共有多少种不同的选取 $s$、$c$ 和 $f$ 的方案，使得在第 $2$ 步中至少能设计出一条满足要求的路径。

$n\le 100000$，$m\le 200000$。

思路

在这里我初步见识到了圆方树的优美性质以及应用了。这一题则是圆方树上巧赋点权的经典题目。

那么在一个 vdcc 中，我们要从 $u$ 经过 $x$ 走到 $v$，必然存在一个不走重复点的路径。即在方点对应的 vdcc 上，除了用来连接其它方点的割点，其它点都是可行的途经点。

然后这就变成了一个树形 dp 了。典型的，像这题一样，考虑计算每个点 $u$ 作为途经点的方案数（方点作为途径就代表 vdcc 内所有点）。每个圆点可以成为出发点，于是由维护子树大小改为子树内维护圆点个数 $cir{c}_u$。

对于未合并的 $u,v$ 由边 $(u,v)$ 相连。根据乘法原理，有 $u$ 子树点与儿子 $v$ 子树点配对：$cir{c}_u\times cir{c}_v$。$u$ 合并所有儿子后，和子树外其它点配对：$cir{c}_u\times (ltk-cir{c}_u)$，$ltk$ 为连通块内圆点个数。

上文说，vdcc 中除了割点的所有点都可以选为途经点，那我们怎么去重呢？在此给每一个点赋予点权：

• 方点的点权是对应 vdcc 大小；
• 圆点的点权是 $-1$。

这个方法真是太天才了。等到走到方点时，就已经或者即将可以减去了圆割点作为途径点的方案数，圆割点作为起点的方案数依然保留；而且圆点作为叶节点时因为没有儿子，$cir{c}_v=0$，也不会产生其它奇怪的贡献。

因为起点终点可以调转，记得方案数 $\times 2$。

具体细节见代码：

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long 
const ll N=1e5+9,M=2e5+9;
ll n,m;
struct edge
{ll to,next;
}e[M<<1];
ll idx,head[N];
void addedge(ll u,ll v)
{idx++;e[idx].to=v;e[idx].next=head[u];head[u]=idx;
}
ll dfn[N],low[N],ti;
ll stk[N],top;
bool iscut[N];
ll vdccnt,vdcno[N];
vector<ll>vdcc[N];
ll val[M];
ll ltk;
void tarjan(ll u,ll fa)
{ltk++;dfn[u]=low[u]=++ti;stk[top++]=u;ll son=0;for(int i=head[u];i;i=e[i].next){ll v=e[i].to;if(!dfn[v]){son++;tarjan(v,u);low[u]=min(low[u],low[v]);if(low[v]>=dfn[u]){vdccnt++;while(1){ll tem=stk[--top];vdcc[vdccnt].push_back(tem);vdcno[tem]=vdccnt;if(v==tem)break;}vdcc[vdccnt].push_back(u);vdcno[u]=vdccnt;val[vdccnt+n]=vdcc[vdccnt].size();}}if(v!=fa)low[u]=min(low[u],dfn[v]);}if(son==0&&fa==0)vdcc[++vdccnt].push_back(u);if(son==2&&fa==0)iscut[u]=1;
}
vector<ll>G[M];
ll las;
ll ans,circ[M];
void dfs(ll u,ll fa)
{circ[u]=(u<=n);for(auto v:G[u]){if(v==fa)continue;dfs(v,u);ans=ans+val[u]*circ[u]*circ[v];circ[u]+=circ[v];}ans=ans+val[u]*circ[u]*(ltk-circ[u]);
}
void sol(ll u)
{for(int i=las+1;i<=vdccnt;i++){for(auto u:vdcc[i]){G[u].push_back(i+n);G[i+n].push_back(u);}}dfs(u,0);las=vdccnt;
}
int main()
{scanf("%lld%lld",&n,&m);for(int i=1;i<=n;i++)val[i]=-1;for(int i=1;i<=m;i++){ll u,v;scanf("%lld%lld",&u,&v);addedge(u,v);addedge(v,u);}for(int i=1;i<=n;i++){if(!dfn[i]){ltk=0;tarjan(i,0);sol(i);}}printf("%lld",ans*2);return 0;
}