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【C++进阶】二叉树进阶

news 2025/11/13 6:15:11

【C++进阶】二叉树进阶

1. 介绍

二叉树在数据结构阶段已经学习过，本节取名"二叉树进阶"主要基于以下考虑：

承上启下：map和set的实现需要二叉搜索树作为基础
加深理解：理解二叉搜索树特性有助于掌握更复杂的树结构
时机合适：部分二叉树面试题难度较大，现在讲解更易吸收
工具优势：C++相比C语言更方便处理复杂数据结构

本节将通过二叉搜索树对二叉树知识进行系统性总结和提升。

2. 二叉搜索树（Binary Search Tree）

2.1 二叉搜索树概念

二叉搜索树（BST）又称二叉排序树或二叉查找树，它具有以下性质：

非空左子树的所有节点值都小于根节点的值
非空右子树的所有节点值都大于根节点的值
左右子树也都是二叉搜索树

// 二叉搜索树示例
//       8
//      / \
//     3   10
//    / \    \
//   1   6    14
//      / \   /
//     4   7 13

2.2 二叉搜索树基本操作

2.2.1 查找操作

查找过程：

从根节点开始比较
目标值 > 当前节点值 → 向右子树查找
目标值 < 当前节点值 → 向左子树查找
目标值 = 当前节点值 → 查找成功
遇到空节点 → 查找失败

时间复杂度：O(h)，h为树的高度

2.2.2 插入操作

插入过程：

树为空 → 直接创建根节点
树不为空 → 按BST性质找到插入位置
创建新节点并插入到合适位置

// 插入序列：8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13
// 最终形成的BST如上图所示

2.2.3 删除操作

删除节点分为三种情况：

叶子节点：直接删除
只有一个子节点：用子节点替代
有两个子节点：用前驱或后继节点替代

替换法删除：找到右子树的最小节点（或左子树的最大节点），用其值替换待删除节点，然后删除那个最小（大）节点。

// 删除示例：
// 删除7（叶子节点）→ 直接删除
// 删除14（有一个子节点）→ 用13替代
// 删除3、8（有两个子节点）→ 用前驱/后继替代

2.3 二叉搜索树实现

2.3.1 节点结构定义

template<class T>
struct BSTNode {BSTNode(const T& data = T()): _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _data(data){}BSTNode<T>* _pLeft;BSTNode<T>* _pRight;T _data;
};

2.3.2 二叉搜索树类定义

template<class T>
class BSTree {typedef BSTNode<T> Node;typedef Node* PNode;
public:BSTree() : _pRoot(nullptr) {}~BSTree();// 查找操作PNode Find(const T& data) {PNode pCur = _pRoot;while (pCur) {if (data == pCur->_data) {return pCur;} else if (data < pCur->_data) {pCur = pCur->_pLeft;} else {pCur = pCur->_pRight;}}return nullptr;}// 插入操作bool Insert(const T& data) {// 树为空的情况if (nullptr == _pRoot) {_pRoot = new Node(data);return true;}// 查找插入位置PNode pCur = _pRoot;PNode pParent = nullptr;while (pCur) {pParent = pCur;if (data < pCur->_data) {pCur = pCur->_pLeft;} else if (data > pCur->_data) {pCur = pCur->_pRight;} else {// 元素已存在return false;}}// 创建新节点并插入pCur = new Node(data);if (data < pParent->_data) {pParent->_pLeft = pCur;} else {pParent->_pRight = pCur;}return true;}// 删除操作bool Erase(const T& data) {if (nullptr == _pRoot) return false;// 查找待删除节点PNode pCur = _pRoot;PNode pParent = nullptr;while (pCur) {if (data == pCur->_data) {break;} else if (data < pCur->_data) {pParent = pCur;pCur = pCur->_pLeft;} else {pParent = pCur;pCur = pCur->_pRight;}}if (nullptr == pCur) return false; // 节点不存在// 情况1：左子树为空if (nullptr == pCur->_pLeft) {if (pCur == _pRoot) {_pRoot = pCur->_pRight;} else {if (pParent->_pLeft == pCur) {pParent->_pLeft = pCur->_pRight;} else {pParent->_pRight = pCur->_pRight;}}delete pCur;}// 情况2：右子树为空else if (nullptr == pCur->_pRight) {if (pCur == _pRoot) {_pRoot = pCur->_pLeft;} else {if (pParent->_pLeft == pCur) {pParent->_pLeft = pCur->_pLeft;} else {pParent->_pRight = pCur->_pLeft;}}delete pCur;}// 情况3：左右子树都不为空else {// 找右子树的最小节点（最左节点）PNode minParent = pCur;PNode minNode = pCur->_pRight;while (minNode->_pLeft) {minParent = minNode;minNode = minNode->_pLeft;}// 用最小值替换当前节点pCur->_data = minNode->_data;// 删除最小节点if (minParent->_pLeft == minNode) {minParent->_pLeft = minNode->_pRight;} else {minParent->_pRight = minNode->_pRight;}delete minNode;}return true;}// 中序遍历void InOrder() {_InOrder(_pRoot);cout << endl;}private:void _InOrder(PNode pRoot) {if (pRoot) {_InOrder(pRoot->_pLeft);cout << pRoot->_data << " ";_InOrder(pRoot->_pRight);}}PNode _pRoot;
};

2.4 二叉搜索树的应用

2.4.1 K模型（纯Key模型）

特点：只存储关键词Key，用于判断元素是否存在。

应用场景：

单词拼写检查
敏感词过滤
存在性判断

// 单词拼写检查示例
BSTree<string> spellChecker;
// 加载词库中的所有单词
spellChecker.Insert("apple");
spellChecker.Insert("banana");
spellChecker.Insert("orange");string word;
while (cin >> word) {if (spellChecker.Find(word)) {cout << "拼写正确" << endl;} else {cout << "拼写错误" << endl;}
}

2.4.2 KV模型（Key-Value模型）

特点：存储键值对<Key, Value>，通过Key快速查找Value。

应用场景：

英汉词典
单词计数
缓存系统

// KV节点定义
template<class K, class V>
struct BSTNode {BSTNode(const K& key = K(), const V& value = V()): _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _key(key), _value(value){}BSTNode<K, V>* _pLeft;BSTNode<K, V>* _pRight;K _key;V _value;
};// 英汉词典应用
void TestDictionary() {BSTree<string, string> dict;dict.Insert("string", "字符串");dict.Insert("tree", "树");dict.Insert("left", "左边、剩余");dict.Insert("sort", "排序");string word;while (cin >> word) {auto ret = dict.Find(word);if (ret == nullptr) {cout << "单词不存在: " << word << endl;} else {cout << word << " 的中文翻译: " << ret->_value << endl;}}
}// 单词计数应用
void TestWordCount() {string arr[] = {"苹果", "西瓜", "苹果", "西瓜", "苹果", "苹果", "西瓜", "苹果", "香蕉", "苹果", "香蕉"};BSTree<string, int> countTree;for (const auto& str : arr) {auto ret = countTree.Find(str);if (ret == nullptr) {countTree.Insert(str, 1);  // 第一次出现} else {ret->_value++;  // 计数增加}}countTree.InOrder();  // 输出每种水果的出现次数
}

2.5 二叉搜索树的性能分析

2.5.1 性能影响因素

二叉搜索树的性能主要取决于树的高度，而树的高度又受插入顺序影响：

// 最优情况：完全二叉树
// 插入顺序：4, 2, 6, 1, 3, 5, 7
//       4
//      / \
//     2   6
//    / \ / \
//   1  3 5  7// 最差情况：单支树  
// 插入顺序：1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
//   1
//    \
//     2
//      \
//       3
//        \
//         4