线性代数 - 矩阵乘法能换括号，不能换顺序；满足结合律，不满足交换律

线性代数 - 矩阵乘法能换括号，不能换顺序；满足结合律，不满足交换律

flyfish

交换律：对任意矩阵A、B，是否满足 ( AB = BA )？（答案：不满足，除非是特殊矩阵，比如A是单位矩阵）
结合律：对任意矩阵A、B、C（或矩阵与向量），是否满足 ( (AB)C = A(BC) )？（答案：满足）

矩阵乘法不满足交换律（AB≠BA），逆矩阵除外

普通矩阵例子（AB≠BA）

取 $A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$，$B=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$：

1. 计算 $AB$：
   $$AB=\left[\begin{array}{cc}1\times 0+2\times 1& 1\times 1+2\times 0\\ 3\times 0+4\times 1& 3\times 1+4\times 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 4& 3\end{array}\right]$$
2. 计算 $BA$：
   $$BA=\left[\begin{array}{cc}0\times 1+1\times 3& 0\times 2+1\times 4\\ 1\times 1+0\times 3& 1\times 2+0\times 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3& 4\\ 1& 2\end{array}\right]$$
   明显 $\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 4& 3\end{array}\right]\ne \left[\begin{array}{cc}3& 4\\ 1& 2\end{array}\right]$，证明交换律不成立。

可逆矩阵举例 例外情况

已知 $A=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 3\end{array}\right]$，逆矩阵 $B=\left[\begin{array}{cc}\frac{3}{5}& -\frac{1}{5}\\ -\frac{1}{5}& \frac{2}{5}\end{array}\right]$：

1. 计算 $AB$（之前验证过）：
   $$AB=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 3\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{cc}\frac{3}{5}& -\frac{1}{5}\\ -\frac{1}{5}& \frac{2}{5}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]=I$$
2. 计算 $BA$（特意验证交换顺序）：
   $$BA=\left[\begin{array}{cc}\frac{3}{5}& -\frac{1}{5}\\ -\frac{1}{5}& \frac{2}{5}\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{3}{5}\times 2-\frac{1}{5}\times 1& \frac{3}{5}\times 1-\frac{1}{5}\times 3\\ -\frac{1}{5}\times 2+\frac{2}{5}\times 1& -\frac{1}{5}\times 1+\frac{2}{5}\times 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]=I$$
   可逆矩阵和逆矩阵相乘，交换顺序仍等于单位矩阵

矩阵乘法满足结合律（(AB)C = A(BC)）

用具体矩阵举例（验证等式成立）

取 $A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$，$B=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$，$C=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\end{array}\right]$：

1. 先算左边 $(AB)C$：
   第一步算 $AB=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 4& 3\end{array}\right]$（上面已算）；
   第二步算 $(AB)C=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 4& 3\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2\times 1+1\times 2& 2\times 3+1\times 4\\ 4\times 1+3\times 2& 4\times 3+3\times 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}4& 10\\ 10& 24\end{array}\right]$。

2. 再算右边 $A(BC)$：
   第一步算 $BC=\left[\begin{array}{cc}0\times 1+1\times 2& 0\times 3+1\times 4\\ 1\times 1+0\times 2& 1\times 3+0\times 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2& 4\\ 1& 3\end{array}\right]$；
   第二步算 $A(BC)=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{cc}2& 4\\ 1& 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1\times 2+2\times 1& 1\times 4+2\times 3\\ 3\times 2+4\times 1& 3\times 4+4\times 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}4& 10\\ 10& 24\end{array}\right]$。

3. 结果对比：左边 $(AB)C=\left[\begin{array}{cc}4& 10\\ 10& 24\end{array}\right]=$ 右边 $A(BC)$，结合律成立。