st表详解

介绍

st表可以静态维护区间最大值，与单调队列相比，st表可以在不定长的区间求解，而单调队列只可以在定长中求解

例题1：

P3865 【模板】ST 表 & RMQ 问题

题目背景

这是一道 ST 表经典题——静态区间最大值

请注意最大数据时限只有 0.8s，数据强度不低，请务必保证你的每次查询复杂度为 $O(1)$。若使用更高时间复杂度算法不保证能通过。

如果您认为您的代码时间复杂度正确但是 TLE，可以尝试使用快速读入：

inline int read()
{int x=0,f=1;char ch=getchar();while (ch<'0'||ch>'9'){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}return x*f;
}

函数返回值为读入的第一个整数。

快速读入作用仅为加快读入，并非强制使用。

题目描述

给定一个长度为 $N$ 的数列，和 $ M $ 次询问，求出每一次询问的区间内数字的最大值。

输入格式

第一行包含两个整数 $N,M$，分别表示数列的长度和询问的个数。

第二行包含 $N$ 个整数（记为 $a_i$），依次表示数列的第 $i$ 项。

接下来 $M$ 行，每行包含两个整数 $l_i,r_i$，表示查询的区间为 $[l_i,r_i]$。

输出格式

输出包含 $M$ 行，每行一个整数，依次表示每一次询问的结果。

输入输出样例 #1

输入 #1

8 8
9 3 1 7 5 6 0 8
1 6
1 5
2 7
2 6
1 8
4 8
3 7
1 8

输出 #1

9
9
7
7
9
8
7
9

说明/提示

对于 $30\%$ 的数据，满足 $1\le N,M\le 10$。

对于 $70\%$ 的数据，满足 $1\le N,M\le {10}^5$。

对于 $100\%$ 的数据，满足 $1\le N\le {10}^5$，$1\le M\le 2\times {10}^6$，$a_i\in [0,{10}^9]$，$1\le l_i\le r_i\le N$。

思路：

举一个例子来解释

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);int n,q;cin>>n>>q;int len=log2(n);vector st(len+1,vector<int>(n+1));for(int i=1;i<=n;i++)cin>>st[0][i];for(int i=1;i<=len;i++){for(int j=1;j<=(n-(1ll<<i)+1);j++){st[i][j]=max(st[i-1][j],st[i-1][j+(1<<(i-1))]);}}while(q--){int l,r;cin>>l>>r;int i=log2(r-l+1);int ans=max(st[i][l],st[i][r-(1<<i)+1]);cout<<ans<<'\n';}
}

例题2：

P2880 [USACO07JAN] Balanced Lineup G

题目描述

每天，农夫 John 的 $n(1\le n\le 5\times 10^4)$ 头牛总是按同一序列排队。

有一天，John 决定让一些牛们玩一场飞盘比赛。他准备找一群在队列中位置连续的牛来进行比赛。但是为了避免水平悬殊，牛的身高不应该相差太大。John 准备了 $q(1\le q\le 1.8\times 10^5)$ 个可能的牛的选择和所有牛的身高 $h_i(1\le h_i\le 10^6,1\le i\le n)$。他想知道每一组里面最高和最低的牛的身高差。

输入格式

第一行两个数 $n,q$。

接下来 $n$ 行，每行一个数 $h_i$。

再接下来 $q$ 行，每行两个整数 $a$ 和 $b$，表示询问第 $a$ 头牛到第 $b$ 头牛里的最高和最低的牛的身高差。

输出格式

输出共 $q$ 行，对于每一组询问，输出每一组中最高和最低的牛的身高差。

输入输出样例 #1

输入 #1

6 3
1
7
3
4
2
5
1 5
4 6
2 2

输出 #1

6
3
0

思路：

可以使用两个st表来维护，一个维护最大值一个维护最小值即可

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);int n,q;cin>>n>>q;int len=log2(n);vector st1(len+1,vector<int>(n+1));vector st2(len+1,vector<int>(n+1));for(int i=1;i<=n;i++){cin>>st1[0][i];st2[0][i]=st1[0][i];}for(int i=1;i<=len;i++){for(int j=1;j<=(n-(1ll<<(i-1))+1);j++){st1[i][j]=max(st1[i-1][j],st1[i-1][j+(1ll<<(i-1))]);st2[i][j]=min(st2[i-1][j],st2[i-1][j+(1ll<<(i-1))]);}}while(q--){int l,r;cin>>l>>r;int i=log2(r-l+1);int mx=max(st1[i][l],st1[i][r-(1ll<<i)+1]);int mn=min(st2[i][l],st2[i][r-(1ll<<i)+1]);cout<<mx-mn<<'\n';}
}

例题3：

P7333 [JRKSJ R1] JFCA

题目描述

给出一个环，上面有 $n$ 个点，每个相邻的点对之间的距离为 $1$。

每个点有两个属性 $a_i$ 和 $b_i$，对于点 $i$，定义 $f_i$ 为它与满足 $i\ne j$ 且 $a_j\ge b_i$ 的 $j$ 与 $i$ 在环上的最短距离。特殊地，如果没有满足条件的 j j