罗素悖论：集合能否包含自身

你有没有想过：一个集合能包含它自身吗？（集合 R 中的元素为 R 集合本身）

比如，想象一下“所有集合的集合”，这个集合难道不应该包含它自身吗？或者想想“所有抽象概念的集合”，它本身不也是一个抽象概念吗？

这就引出了罗素悖论，它几乎就像一个逻辑笑话：考虑集合 R，它包含了“所有不包含自身的集合”。

现在问：R 包含它自身吗？如果 R 包含自身……那么根据定义，它不应该包含自身（因为 R 只包含不包含自身的集合）。如果 R 不包含自身……那么根据定义，它应该包含自身！

这个悖论在 20 世纪初几乎让数学崩溃！它迫使数学家们彻底重建集合论，并制定了关于集合能做什么和不能做什么的严格规则。

如果一个集合包含它自身，那么它就包含它自身，如此循环往复……就像洋葱一样层层嵌套！一个无限循环嵌套在一个对象内部。

数学作为一种语言的观察非常精辟。罗素悖论表明，我们对集合的语言直觉：“只要你能描述任何集合，就可以随意谈论！” 这过于随意。这种语言让我们能够说出一些会产生逻辑矛盾的话。

因此，像 Zermelo 和 Fraenkel 这样的数学家制定了严谨的规则，公理，来规范集合的定义：“你不能随意谈论‘所有集合的集合……’。你必须从底层开始构建集合。”

集合只能包含之前已经定义的事物。没有循环，没有自包含，没有无限倒退，所有这些都被塞进一个对象里。就好像集合的宇宙是有方向的，是有层级的。一切都从空集向上流动，没有任何东西可以回溯并抓住自己。