用Python来学微积分34-定积分的基本性质及其应用

在数学分析中，定积分是一门重要的内容，它有着丰富的性质，这些性质对于理解和计算定积分起着关键作用。以下将详细介绍定积分的线性运算性质、区间可加性、比较定理、估值定理、绝对值函数的积分性质以及积分中值定理，并通过手动求解和Python代码进行示例说明。

一、定积分的线性运算性质

1. 数学定义

若函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上可积，则对于任意的实数 $\alpha$ 和 $\beta$，函数 $\alpha f(x)+\beta g(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上也可积，且 $${\int }_a^b[\alpha f(x)+\beta g(x)]dx=\alpha {\int }_a^{b}f(x)dx+\beta {\int }_a^{b}g(x)dx$$

2. 性质证明

证明过程： 由于 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，根据可积性的定义，对于任意分割 $T$，有： $$\underset{\Vert T\Vert \to 0}{\lim }\sum f({\xi }_i)\Delta x_i={\int }_a^{b}f(x)dx$$ $$\underset{\Vert T\Vert \to 0}{\lim }\sum g({\xi }_i)\Delta x_i={\int }_a^{b}g(x)dx$$

考虑函数 $\alpha f(x)+\beta g(x)$ 的积分和： $$\sum [\alpha f({\xi }_i)+\beta g({\xi }_i)]\Delta x_i=\alpha \sum f({\xi }_i)\Delta x_i+\beta \sum g({\xi }_i)\Delta x_i$$

取极限得： $$\underset{\Vert T\Vert \to 0}{\lim }\sum [\alpha f({\xi }_i)+\beta g({\xi }_i)]\Delta x_i=\alpha \underset{\Vert T\Vert \to 0}{\lim }\sum f({\xi }_i)\Delta x_i+\beta \underset{\Vert T\Vert \to 0}{\lim }\sum g({\xi }_i)\Delta x_i$$ 即： $${\int }_a^b[\alpha f(x)+\beta g(x)]dx=\alpha {\int }_a^{b}f(x)dx+\beta {\int }_a^{b}g(x)dx$$ 证毕。

3. 手动求解

假设 $f(x)=x$，$g(x)=x^2$，$a=0$，$b=1$，$\alpha =2$，$\beta =3$。 首先分别计算 ${\int }_0^{1}f(x)dx$ 和 ${\int }_0^{1}g(x)dx$：

• ${\int }_0^{1}xdx={\left[\frac{1}{2}{x}^2\right]}_0^1=\frac{1}{2}(1^2-0^2)=\frac{1}{2}$
• ${\int }_0^1{x}^{2}dx={\left[\frac{1}{3}{x}^3\right]}_0^1=\frac{1}{3}(1^3-0^3)=\frac{1}{3}$

然后计算 ${\int }_0^1[2f(x)+3g(x)]dx={\int }_0^1(2x+3x^2)dx$： $$\begin{array}{rl}{\int }_0^1(2x+3x^2)dx& =2{\int }_0^{1}xdx+3{\int }_0^1{x}^{2}dx\\ & =2\times \frac{1}{2}+3\times \frac{1}{3}\\ & =1+1\\ & =2\end{array}$$

4. Python代码

import sympyx = sympy.Symbol('x')
alpha = 2
beta = 3
f = x
g = x ** 2
a = 0
b = 1integral_alpha_f = alpha * sympy.integrate(f, (x, a, b))
integral_beta_g = beta * sympy.integrate(g, (x, a, b))
integral_alpha_f_plus_beta_g = sympy.integrate(alpha * f + beta * g, (x, a, b))print("∫ from {} to {} of {} dx = {}".format(a, b, alpha * f, integral_alpha_f))
print("∫ from {} to {} of {} dx = {}".format(a, b, beta * g, integral_beta_g))
print("∫ from {} to {} of {} dx = {}".format(a, b, alpha * f + beta * g, integral_alpha_f_plus_beta_g))

5. 执行结果

二、定积分的区间可加性

1. 数学定义

若函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上可积，$a<c<b$，则 $f(x)$ 在区间 $[a,c]$ 与 $[c,b]$ 上均可积，且 $${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx$$ 若 $a<c<b$，且函数 $f(x)$ 在区间 $[a,c]$ 与 $[c,b]$ 上均可积，则 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上可积，且上述等式依然成立。

2. 性质证明

证明过程： 由于 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，对于任意包含点 $c$ 的分割 $T$，可以将积分和分为两部分： $$\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i=\sum _{x_i\in [a,c]}f({\xi }_i)\Delta x_i+\sum _{x_i\in [c,b]}f({\xi }_i)\Delta x_i$$

当 $\Vert T\Vert \to 0$ 时，两边取极限得： $${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx$$

特别地，当 $c$ 不在 $[a,b]$ 内时，通过规定 ${\int }_a^{b}f(x)dx=-{\int }_b^{a}f(x)dx$，该公式仍然成立。

3. 手动求解

设 $f(x)=x$，$a=0$，$b=2$，$c=1$。

• 计算 ${\int }_0^{1}xdx={\left[\frac{1}{2}{x}^2\right]}_0^1=\frac{1}{2}$
• 计算 ${\int }_1^{2}xdx={\left[\frac{1}{2}{x}^2\right]}_1^2=\frac{1}{2}(2^2-1^2)=\frac{3}{2}$
• 则 ${\int }_0^{2}xdx={\int }_0^{1}xdx+{\int }_1^{2}xdx=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=2$

4. Python代码

import sympyx = sympy.Symbol('x')
a = 0
b = 2
c = 1
f = xintegral_a_c = sympy.integrate(f, (x, a, c))
integral_c_b = sympy.integrate(f, (x, c, b))
integral_a_b = sympy.integrate(f, (x, a, b))print("∫ from {} to {} of {} dx = {}".format(a, c, f, integral_a_c))
print("∫ from {} to {} of {} dx = {}".format(c, b, f, integral_c_b))
print("∫ from {} to {} of {} dx = {}".format(a, b, f, integral_a_b))

5. 执行结果

三、定积分的比较定理

1. 数学定义

若函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 都在区间 $[a,b]$ 上可积，且 $f(x)\le g(x)$，则 $${\int }_a^{b}f(x)dx\le {\int }_a^{b}g(x)dx$$

2. 性质证明

证明过程： 由于 $f(x)\le g(x)$，所以 $g(x)-f(x)\ge 0$。根据定积分的线性性质： $${\int }_a^b[g(x)-f(x)]dx={\int }_a^{b}g(x)dx-{\int }_a^{b}f(x)dx$$

又因为非负函数的积分非负，即 ${\int }_a^b[g(x)-f(x)]dx\ge 0$，所以： $${\int }_a^{b}g(x)dx-{\int }_a^{b}f(x)dx\ge 0$$ 即： $${\int }_a^{b}f(x)dx\le {\int }_a^{b}g(x)dx$$ 证毕。

3. 手动求解

设 $f(x)=x$，$g(x)=x^2$，$a=0$，$b=1$。 因为在区间 $[0,1]$ 上，$x\ge x^2$（可通过 $x-x^2=x(1-x)\ge 0$，$x\in [0,1]$ 得到）。

• 计算 ${\int }_0^{1}xdx={\left[\frac{1}{2}{x}^2\right]}_0^1=\frac{1}{2}$
• 计算 ${\int }_0^1{x}^{2}dx={\left[\frac{1}{3}{x}^3\right]}_0^1=\frac{1}{3}$ 显然 $\frac{1}{2}\ge \frac{1}{3}$，满足比较定理。

4. Python代码

import sympyx = sympy.Symbol('x')
a = 0
b = 1
f = x
g = x ** 2integral_f = sympy.integrate(f, (x, a, b))
integral_g = sympy.integrate(g, (x, a, b))print("∫ from {} to {} of {} dx = {}".format(a, b, f, integral_f))
print("∫ from {} to {} of {} dx = {}".format(a, b, g, integral_g))
print("Is ∫ from {} to {} of f(x)dx >= ∫ from {} to {} of g(x)dx? {}".format(a, b, a, b, integral_f >= integral_g))

5. 执行结果

四、定积分的估值定理

1. 数学定义

设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上可积，且存在最大值 $M$ 和最小值 $m$，则 $$m(b-a)\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le M(b-a)$$

2. 定理证明

证明过程： 证明的核心思想是利用定积分的比较性质（若在区间上恒有 $f(x)\le g(x)$，则 ${\int }_a^{b}f(x)dx\le {\int }_a^{b}g(x)dx$）。

1. 建立不等式：由于 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，根据闭区间上连续函数的性质，它在该区间上能取得最大值 $M$ 和最小值 $m$。因此，对于区间内任意一点 $x$，都有： $$m\le f(x)\le M$$

2. 积分保号性应用：对上述不等式两边在区间 $[a,b]$ 上进行积分： $${\int }_a^{b}mdx\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le {\int }_a^{b}Mdx$$

3. 计算常数积分：常数函数 $m$ 和 $M$ 在区间 $[a,b]$ 上的积分很容易计算： $${\int }_a^{b}mdx=m(b-a),{\int }_a^{b}Mdx=M(b-a)$$

4. 得出结论：将上述结果代入，即得： $$m(b-a)\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le M(b-a)$$ 至此，估值定理得证。

3. 手动求解

设 $f(x)=e^{-\sin x}$，$x\in [0,\frac{\pi }{2}]$。 先求导 $f^{\prime }(x)=-e^{-\sin x}\cos x$，在区间 $[0,\frac{\pi }{2}]$ 上，$f^{\prime }(x)\le 0$，所以 $f(x)$ 单调递减。 则 $M=f(0)=e^{-\sin 0}=1$，$m=f(\frac{\pi }{2})=e^{-\sin \frac{\pi }{2}}=\frac{1}{e}$。 $b-a=\frac{\pi }{2}-0=\frac{\pi }{2}$，根据估值定理有 $\frac{1}{e}\times \frac{\pi }{2}\le {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{e}^{-\sin x}dx\le 1\times \frac{\pi }{2}$。

4. Python代码

import sympy
import mathx = sympy.Symbol('x')
a = 0
b = math.pi / 2
f = sympy.exp(-sympy.sin(x))M = f.subs(x, 0)
m = f.subs(x, math.pi / 2)
interval_length = b - alower_bound = m * interval_length
upper_bound = M * interval_length
integral_result = sympy.integrate(f, (x, a, b))print("m = {}, M = {}, b - a = {}".format(m, M, interval_length))
print("Lower bound: {}, Upper bound: {}".format(lower_bound, upper_bound))
print("Integral result: {}".format(integral_result))

5. Python代码执行结果

五、绝对值函数的积分性质

1. 数学定义

若函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上可积，则其绝对值函数 $|f(x)|$ 在 $[a,b]$ 上可积，且 $$\left|{\int }_a^{b}f(x)dx\right|\le {\int }_a^b|f(x)|dx$$

2. 性质证明

证明过程： 由于 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，根据可积性的定义，对于任意分割，积分和收敛。考虑绝对值函数的可积性，需要证明 $|f(x)|$ 也满足可积条件。

对于任意分割 $T$，设 $M_i$ 和 $m_i$ 分别为 $f(x)$ 在子区间 $[x_{i-1},x_i]$ 上的上确界和下确界，则 $|f(x)|$ 在相同区间上的振幅满足： $${\omega }_i(|f|)\le {\omega }_i(f)$$ 因为 $f(x)$ 可积，所以 ${\lim }_{\Vert T\Vert \to 0}\sum {\omega }_i(f)\Delta x_i=0$，从而 ${\lim }_{\Vert T\Vert \to 0}\sum {\omega }_i(|f|)\Delta x_i=0$，故 $|f(x)|$ 可积。

对于不等式部分，由三角不等式： $$-|f(x)|\le f(x)\le |f(x)|$$ 两边在 $[a,b]$ 上积分得： $$-{\int }_a^b|f(x)|dx\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le {\int }_a^b|f(x)|dx$$ 即： $$\left|{\int }_a^{b}f(x)dx\right|\le {\int }_a^b|f(x)|dx$$ 证毕。

3. 实例分析

设 $f(x)=x$，$a=-1$，$b=1$。 ${\int }_{-1}^{1}xdx={\left[\frac{1}{2}{x}^2\right]}_{-1}^1=\frac{1}{2}(1^2-(-1{)}^2)=0$ $|f(x)|=|x|$，${\int }_{-1}^1|x|dx=2{\int }_0^{1}xdx=2\times {\left[\frac{1}{2}{x}^2\right]}_0^1=1$ 显然 $|{\int }_{-1}^{1}xdx|=0\le 1={\int }_{-1}^1|x|dx$。

4. Python代码

import sympyx = sympy.Symbol('x')
a = -1
b = 1
f = x
abs_f = sympy.Abs(f)integral_f = sympy.integrate(f, (x, a, b))
integral_abs_f = sympy.integrate(abs_f, (x, a, b))print("∫ from {} to {} of {} dx = {}".format(a, b, f, integral_f))
print("∫ from {} to {} of |{}| dx = {}".format(a, b, f, integral_abs_f))
print("Is |∫ from {} to {} of {} dx| <= ∫ from {} to {} of |{}| dx? {}".format(a, b, f, a, b, f, abs(integral_f) <= integral_abs_f))

5. 执行结果

六、积分中值定理

1. 数学定义

如果函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，那么存在 $\xi \in (a,b)$，使得 $${\int }_a^{b}f(x)dx=f(\xi )(b-a)$$

2. 定理证明

证明过程： 由于 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，根据闭区间上连续函数的性质，$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上取得最小值 $m$ 和最大值 $M$，即： $$m\le f(x)\le M,\forall x\in [a,b]$$

对不等式两边在 $[a,b]$ 上积分得： $$m(b-a)\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le M(b-a)$$

即： $$m\le \frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx\le M$$

根据连续函数的介值定理，存在 $\xi \in [a,b]$，使得： $$f(\xi )=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx$$

整理得： $${\int }_a^{b}f(x)dx=f(\xi )(b-a)$$ 证毕。

3. 手动求解

设 $f(x)=x$，$a=0$，$b=1$。 ${\int }_0^{1}xdx={\left[\frac{1}{2}{x}^2\right]}_0^1=\frac{1}{2}$ $f(x)=x$ 在 $[0,1]$ 上连续，令 $f(\xi )=\frac{1}{2}$，即 $\xi =\frac{1}{2}\in (0,1)$，此时 ${\int }_0^{1}xdx=f(\frac{1}{2})(1-0)=\frac{1}{2}$。

4. Python代码

import sympyx = sympy.Symbol('x')
a = 0
b = 1
f = xintegral_result = sympy.integrate(f, (x, a, b))
# 这里只是简单示意中值，实际求解中值可能需要更复杂的数值方法
mid_point = (a + b) / 2
print("∫ from {} to {} of {} dx = {}".format(a, b, f, integral_result))
print("Mid - point value: f({}) = {}".format(mid_point, f.subs(x, mid_point)))

5. 执行结果

以上就是定积分的一些基本性质及其相关示例，通过手动计算和Python代码验证，能够更深入地理解这些性质的原理和应用。这些性质在解决定积分相关的计算和证明问题中具有重要作用，对于进一步学习数学分析和相关领域有着坚实的基础意义。

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往期精彩回顾：

• 用Python来学微积分31-定积分的概念与几何意义详解
• 用Python来学微积分32-定积分的可积性条件详解
• 用Python来学微积分33-定积分的应用实例详解

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参考资料：

1. 扈志明《微积分》教材

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