实对称矩阵的正交相似对角化

一、知识点分析

实对称矩阵具有以下性质：

• 实对称矩阵的特征值都是实数；
• 不同特征值对应的特征向量正交；
• 可以找到正交矩阵 $Q$，使得$Q^{\mathrm{T}}AQ$为对角阵（对角线上的元素是 $A$ 的特征值）。

解题过程为：

1. 求矩阵$A$的特征值（解特征方程$|\lambda E-A|=0$）；
2. 对每个特征值，求对应的特征向量（解齐次线性方程组 $(\lambda E-A)\mathbf{x}=0$）；
3. 将特征向量正交化、单位化（若同一特征值的特征向量不正交，需用施密特正交化；最后单位化得到单位正交向量组）；
4. 由单位正交向量组构成正交矩阵 $Q$，此时$Q^{\mathrm{T}}AQ$ 为对角阵（对角元为特征值）。

二、具体求解过程

步骤1：计算特征值

矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccc}2& 2& -2\\ 2& 5& -4\\ -2& -4& 5\end{array}\right]$，特征方程$|\lambda E-A|=0$。

$$\begin{array}{rl}|\lambda E-A|& =\left|\begin{array}{ccc}\lambda -2& -2& 2\\ -2& \lambda -5& 4\\ 2& 4& \lambda -5\end{array}\right|\\ & =(\lambda -1{)}^2(\lambda -10)\end{array}$$

因此，特征值为：${\lambda }_1={\lambda }_2=1$（二重特征值），${\lambda }_3=10$（单特征值）

步骤2：求特征向量

• 对于二重特征值 $\lambda =1$
  解方程组$(E-A)\mathbf{x}=0$，计算 $E-A$：
  $$E-A=\left[\begin{array}{ccc}1-2& -2& 2\\ -2& 1-5& 4\\ 2& 4& 1-5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-1& -2& 2\\ -2& -4& 4\\ 2& 4& -4\end{array}\right]$$
  行化简（第二行 - 2×第一行，第三行 + 2×第一行）：
  $$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& -2\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$
  同解方程：$x_1=-2x_2+2x_3$（$x_2,x_3$ 为自由变量）

  取自由变量组合：

  • 令 $x_2=1,x_3=0$，得 ${\alpha }_1=\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\end{array}\right]$；
  • 令 $x_2=0,x_3=1$，得${\alpha }_2=\left[\begin{array}{c}2\\ 0\\ 1\end{array}\right]$。

  因此，$\lambda =1$的线性无关特征向量为${\alpha }_1,{\alpha }_2$

• 对于单特征值 $\lambda =10$
  解方程组$(10E-A)\mathbf{x}=0$，计算 $10E-A$：
  $$10E-A=\left[\begin{array}{ccc}10-2& -2& 2\\ -2& 10-5& 4\\ 2& 4& 10-5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}8& -2& 2\\ -2& 5& 4\\ 2& 4& 5\end{array}\right]$$
  行化简（第一行 ÷ 2，第二行 + 第一行，第三行 - 第一行）：
  $$\left[\begin{array}{ccc}4& -1& 1\\ 0& 9& 9\\ 0& 9& 9\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{ccc}4& -1& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0.5\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$
  同解方程：$x_1=-0.5x_3$，$x_2=-x_3$（$x_3$ 为自由变量）

  令 $x_3=2$（消去小数），得 ${\alpha }_3=\left[\begin{array}{c}-1\\ -2\\ 2\end{array}\right]$

步骤3：特征向量的正交化与单位化

实对称矩阵中，不同特征值的特征向量已正交（$\lambda =1$ 的特征向量与 $\lambda =10$的 ${\alpha }_3$正交，可验证：${\alpha }_1\cdot {\alpha }_3=(-2)(-1)+1\times (-2)+0\times 2=2-2+0=0$），因此仅需对同一特征值的${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 施密特正交化。

• 第一步：施密特正交化（针对 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$）
  令${\beta }_1={\alpha }_1=\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\end{array}\right]$；
  计算 ${\beta }_2={\alpha }_2-\frac{({\alpha }_2,{\beta }_1)}{({\beta }_1,{\beta }_1)}{\beta }_1$：

  • 内积$({\alpha }_2,{\beta }_1)=2\times (-2)+0\times 1+1\times 0=-4$；
  • 内积 $({\beta }_1,{\beta }_1)=(-2{)}^2+1^2+0^2=5$；
  • 代入得：
    $${\beta }_2=\left[\begin{array}{c}2\\ 0\\ 1\end{array}\right]-\frac{-4}{5}\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2-\frac{8}{5}\\ 0+\frac{4}{5}\\ 1+0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{2}{5}\\ \frac{4}{5}\\ 1\end{array}\right]$$
    此时${\beta }_1,{\beta }_2$正交，且与 ${\alpha }_3$正交

• 第二步：单位化（所有正交特征向量）
  单位化公式：$\mathbf{q}=\frac{\beta }{\Vert \beta \Vert }$

  1. 对${\beta }_1$：
     $$\Vert {\beta }_1\Vert =\sqrt{(-2{)}^2+1^2+0^2}=\sqrt{5}⟹{\mathbf{q}}_1=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-\frac{2\sqrt{5}}{5}\\ \frac{\sqrt{5}}{5}\\ 0\end{array}\right]$$
  2. 对${\beta }_2$：
     $$\Vert {\beta }_2\Vert =\sqrt{{\left(\frac{2}{5}\right)}^2+{\left(\frac{4}{5}\right)}^2+1^2}=\sqrt{\frac{4+16+25}{25}}=\sqrt{\frac{45}{25}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$$
     $${\mathbf{q}}_2=\frac{5}{3\sqrt{5}}\left[\begin{array}{c}\frac{2}{5}\\ \frac{4}{5}\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{2\sqrt{5}}{15}\\ \frac{4\sqrt{5}}{15}\\ \frac{\sqrt{5}}{3}\end{array}\right]$$
  3. 对${\alpha }_3$（已正交，直接单位化）：
     $$\Vert {\alpha }_3\Vert =\sqrt{(-1{)}^2+(-2{)}^2+2^2}=\sqrt{1+4+4}=3$$
     $${\mathbf{q}}_3=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{c}-1\\ -2\\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-\frac{1}{3}\\ -\frac{2}{3}\\ \frac{2}{3}\end{array}\right]$$

步骤4：构造正交矩阵 $Q$与对角阵$\Lambda$

将单位正交特征向量${\mathbf{q}}_1,{\mathbf{q}}_2,{\mathbf{q}}_3$ 按列排列，得到正交矩阵 $Q$；对角阵$\Lambda$ 的对角元为特征值（与 $Q$ 的列向量一一对应）。

$$Q=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{2\sqrt{5}}{5}& \frac{2\sqrt{5}}{15}& -\frac{1}{3}\\ \frac{\sqrt{5}}{5}& \frac{4\sqrt{5}}{15}& -\frac{2}{3}\\ 0& \frac{\sqrt{5}}{3}& \frac{2}{3}\end{array}\right],\Lambda =\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 10\end{array}\right]$$

验证：$Q^{T}AQ=\Lambda$（实对称矩阵正交相似对角化的核心结果）

三、手写实现

四、代码实现

使用 Python 和 NumPy 计算特征值和特征向量，构造 $Q$。

# 使用numpy.linalg.eigh 
import numpy as np# 定义矩阵 A
A = np.array([[2, 2, -2],[2, 5, -4],[-2, -4, 5]])# 计算特征值和特征向量
# numpy.linalg.eig 通用函数求解特征值和特征向量
# numpy.linalg.eigh:专门用于厄米特矩阵，返回：特征值（升序）、特征向量（按列排列）
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eigh(A)
print(f"特征值为:{eigenvalues}")# eigh返回的特征向量已单位化且正交，直接作为 Q
Q = eigenvectors
print(f"Q =\n{Q}")result = Q.T @ A @ Q
print(f"Q^T A Q =\n{result}")tolerance = 1e-10
result_cleaned = np.where(np.abs(result) < tolerance, 0, result)
print(f"控制误差后的 Q^T A Q =\n{result_cleaned}")# 使用numpy.linalg.eig
# import numpy as np
# 
# # 定义矩阵 A
# A = np.array([[2, 2, -2],
#               [2, 5, -4],
#               [-2, -4, 5]])
# 
# # 使用 eig 计算特征值和特征向量
# eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A)
# print(f"原始特征值为: {eigenvalues}")
# 
# # 对特征值和特征向量进行排序
# idx = np.argsort(eigenvalues)
# eigenvalues_sorted = eigenvalues[idx]
# eigenvectors_sorted = eigenvectors[:, idx]
# print(f"排序后的特征值: {eigenvalues_sorted}")
# 
# # 识别二重特征值
# tolerance = 1e-10
# if abs(eigenvalues_sorted[0] - eigenvalues_sorted[1]) < tolerance:
#     #二重特征值，对前两个特征向量进行施密特正交化
#     v1 = eigenvectors_sorted[:, 0]
#     v2 = eigenvectors_sorted[:, 1]
#     v3 = eigenvectors_sorted[:, 2]
# 
#     # 施密特正交化
#     beta1 = v1
#     beta2 = v2 - (np.dot(v2, beta1) / np.dot(beta1, beta1)) * beta1
# 
#     # 单位化所有向量
#     q1 = beta1 / np.linalg.norm(beta1)
#     q2 = beta2 / np.linalg.norm(beta2)
#     q3 = v3 / np.linalg.norm(v3)
# 
#     # 构建 Q 矩阵
#     Q = np.column_stack([q1, q2, q3])
# else:
#     # 如果没有重特征值，直接单位化
#     Q = eigenvectors_sorted / np.linalg.norm(eigenvectors_sorted, axis=0)
# 
# print(f"Q =\n{Q}")
# 
# # 验证 Q^T A Q 是否为对角阵
# result = Q.T @ A @ Q
# print(f"Q^T A Q =\n{result}")
# 
# tolerance = 1e-10
# result_cleaned = np.where(np.abs(result) < tolerance, 0, result)
# print(f"控制误差后的 Q^T A Q =\n{result_cleaned}")

补充知识点

1.区分用于矩阵特征值分解的函数：numpy.linalg.eig 和 numpy.linalg.eigh

对比维度	numpy.linalg.eig	numpy.linalg.eigh
适用矩阵类型	任意方阵	专门用于厄米特矩阵（复域）：满足 ( A = A^H )（共轭转置等于自身）； 实域特例：实对称矩阵（满足 ( A = A^T )）
算法与性能	采用通用算法（如QR算法），无结构优化； 计算复杂度高，速度较慢； 数值稳定性一般	采用对称/厄米特矩阵专用优化算法（如分治QR、Jacobi算法）； 充分利用矩阵对称性，速度更快； 数值稳定性更优，内存效率更高
特征值排序	无固定排序规则，输出顺序随机（与矩阵结构、数值计算过程相关）	特征值严格按升序排列（从最小到最大），结果具有规范性
特征向量正交性保证	不保证特征向量正交： - 不同特征值的特征向量仅线性无关（非对称矩阵）； - 实对称矩阵中不同特征值的特征向量天然正交，但同一特征值的特征向量仅线性无关（不正交）； - 所有特征向量均不保证单位性（模长≠1）	强制保证特征向量单位正交： - 不同特征值的特征向量天然正交（矩阵固有性质）； - 同一特征值的特征向量自动做施密特正交化； - 所有特征向量均自动单位化（模长=1）
特征值/特征向量性质	可能返回复数特征值/特征向量（即使输入是实矩阵，非对称时可能出现）	特征值必为实数（厄米特矩阵固有性质）； 特征向量为实向量（实对称矩阵）或复向量（复厄米特矩阵），但始终满足单位正交

2.对于厄米特矩阵

• eigh 会自动对同一特征值的特征向量做施密特正交化，再对所有特征向量单位化，最终返回 “单位正交” 的结果
• eig 不会做这些额外处理，仅返回 “满足特征方程的原始特征向量”

函数	实对称/厄米特矩阵的特征向量性质
np.linalg.eig	1. 不同特征值：正交（固有性质）； 2. 同一特征值：仅线性无关，不一定正交； 3. 所有特征向量：不保证单位性（模长≠1）。
np.linalg.eigh	1. 不同特征值：正交（固有性质）； 2. 同一特征值：自动正交化； 3. 所有特征向量：自动单位化（模长=1）； 最终结果：单位正交。

因此，用eig得到特征向量后，想得到单位正交向量，需要完成：

• 对同一特征值的线性无关特征向量做施密特正交化；
• 对所有正交后的特征向量做单位化