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从0开始学算法——第二天（时间、空间复杂度）

news 2025/11/7 8:23:57

写在开头的话

在计算机科学中，算法的时间和空间复杂度是衡量算法性能的重要指标。本文旨在通过理论分析和实验实践，深入理解大 O 表示法、算法效率度量与函数增长数量级、时间复杂度和空间复杂度。通过具体的示例和对比，帮助大家掌握如何评估和优化算法。

知识点：

（1）大 O 表示法（2）算法的效率度量与函数增长数量级（3）时间复杂度和空间复杂度

大 O 表示法

大 O 表示法（Big O Notation）是一种用于描述算法性能（尤其是时间复杂度和空间复杂度）的方法，它表示算法在最坏情况下的时间复杂度和空间复杂度。大 O 符号关注的是输入规模趋向于无穷大时，算法运行时间或占用空间的增长趋势。

大 O 表示法的定义

大 O 表示法，记作 O(f(n)) ，用于描述一个函数相对于另一个函数的增长率。如果算法 A 的时间复杂度可以被函数 f(n) 的增长率所界定，那么我们可以说算法 A 的时间复杂度是 O(f(n))。这意味着，当输入规模 n 趋向于无穷大时，算法 A 的执行时间不会超过函数 f(n) 的某个常数倍。

例如，如果一个算法的时间复杂度是 O( $n^2$ )，那么当输入规模 n 加倍时，最坏情况下算法的执行时间会增长至多四倍。

大 O 表示法的用途

评估算法效率：通过比较不同算法的时间和空间复杂度，帮助选择最合适的算法。
忽略常数因子：由于实际运行时间受硬件、编程语言等多种因素的影响，大 O 表示法关注增长率，而不是具体的执行时间。
分析极限行为：大 O 表示法使我们能够分析算法在输入规模趋向无穷大时的性能表现。

通过使用大 O 表示法，可以将不同算法的时间复杂度和空间复杂度用一种统一的方式进行比较。常见的增长数量级包括：

O(1)：常数时间
O(logn)：对数时间
O(n)：线性时间
O(nlogn)：线性对数时间
O( $n^2$ )：平方时间
O( $2^{n}$ )：指数时间

各种不同的时间复杂度存在着以下关系：

O(1)<O( $\log_2{n}$ )<O(n)<O( $n\log_2{n}$ )<O( $x^2$ )<O( $n^3$ )<O( $2^n$ )<O(n!)

算法的效率度量与函数增长数量级

算法的效率度量

在评估算法的效率时，我们关注两个主要方面：时间复杂度和空间复杂度。函数增长数量级帮助我们理解算法的性能如何随着输入规模的变化而变化。

时间复杂度：描述算法执行所需时间与输入规模之间的关系。常见的时间复杂度分析包括通过简单的代码示例来验证。
空间复杂度：描述算法在执行过程中所需的内存空间。我们将通过不同算法的实现，观察其空间需求。

函数增长数量级

定义：函数增长数量级是指一个函数在输入规模增加时增长的速率。它是理解时间复杂度和空间复杂度的重要概念。

增长速率的比较：

常数时间 O(1)：函数值不随输入规模变化，始终保持不变。
对数时间 O(logn) ：随着输入规模的增加，函数值缓慢增长，常见于二分搜索等算法。
线性时间 O(n) ：函数值与输入规模成正比，输入规模翻倍时，函数值也翻倍。
线性对数时间 O(nlogn)：增长速度介于线性和平方之间，常见于高效排序算法。
平方时间 O( $n^2$ )：函数值随输入规模的平方增长，输入规模翻倍时，函数值增长四倍。
指数时间 O( $2^n$ ) ：随着输入规模增加，函数值呈指数增长，通常在处理组合问题时出现。

时间复杂度

定义：时间复杂度是指算法执行所需时间与输入数据规模之间的关系。它通常表示为一个函数，描述算法在最坏情况下的运行时间。

测量标准：

最坏情况：通常使用最坏情况时间复杂度，描述在最不利条件下，算法的运行时间。
平均情况：对于某些算法，平均情况时间复杂度也很重要，它考虑了所有可能输入的平均性能。
最好情况：虽然不常用，但最好情况时间复杂度有助于理解算法在理想情况下的性能。

表示法：使用大 O 表示法（O）来描述时间复杂度。时间复杂度描述了算法执行所需时间与输入规模之间的关系。常见的时间复杂度包括：

O(1) ：算法的执行时间与输入规模无关，始终为常数时间。例如，访问数组中的某个元素。
O(n) ：算法的执行时间与输入规模成线性关系，例如遍历一个数组。
O( $n^2$ ) ：算法的执行时间与输入规模的平方成正比，例如使用嵌套循环遍历二维数组。
O(logn)：算法的执行时间随输入规模增长而缓慢增加，例如二分查找。

通过以下算法示例，我们分析其时间复杂度：

常数时间复杂度 O(1)，无论数组的大小如何，函数始终只访问第一个元素，因此时间复杂度是 O(1)。
```
def get_first_element(arr):return arr[0]
```

对数时间复杂度 O(logn)，每次迭代都将搜索区间减半，因此时间复杂度是 O(logn)。

def binary_search(arr, target):left, right = 0, len(arr) - 1while left <= right:mid = (left + right) // 2if arr[mid] == target:return midelif arr[mid] < target:left = mid + 1else:right = mid - 1return -1

线性时间复杂度 O(n)，在最坏情况下，必须检查每个元素，因此时间复杂度是 O(n)。
```
def linear_search(arr, target):for i in range(len(arr)):if arr[i] == target:return ireturn -1
```

线性对数时间复杂度 O(nlogn)：归并排序将数组不断分割为两半（O(logn)），并在合并时遍历整个数组（O(n)），所以总时间复杂度为 O(nlogn)。

def merge_sort(arr):if len(arr) <= 1:return arrmid = len(arr) // 2left_half = merge_sort(arr[:mid])right_half = merge_sort(arr[mid:])return merge(left_half, right_half)def merge(left, right):sorted_arr = []while left and right:if left[0] < right[0]:sorted_arr.append(left.pop(0))else:sorted_arr.append(right.pop(0))sorted_arr.extend(left or right)return sorted_arr

平方时间复杂度 O( $n^2$ )，每个元素都要与其他元素进行比较，因此时间复杂度是 O( $n^2$ )。

def bubble_sort(arr):n = len(arr)for i in range(n):for j in range(0, n-i-1):if arr[j] > arr[j+1]:arr[j], arr[j+1] = arr[j+1], arr[j]

立方时间复杂度 O( $n^3$ )，三重循环分别遍历每个矩阵的行、列和元素，因此时间复杂度是 O( $n^3$ )。

def matrix_multiplication(A, B):n = len(A)C = [[0] * n for _ in range(n)]for i in range(n):for j in range(n):for k in range(n):C[i][j] += A[i][k] * B[k][j]return C

指数时间复杂度 O()，每次调用都会产生两个递归调用，因此时间复杂度是 O()。
```
def fibonacci(n):if n <= 1:return nreturn fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2)
```

阶乘时间复杂度 O(n!)，生成所有可能的排列组合，时间复杂度是 O(n!)。

def permutations(elements):if len(elements) == 0:return [[]]result = []for i in range(len(elements)):for perm in permutations(elements[:i] + elements[i+1:]):result.append