动态规划详解（二）：从暴力递归到动态规划的完整优化之路

目录

一、什么是动态规划？—— 从人类直觉到算法思维

二、暴力递归：最直观的问题分解方式

1. 示例：斐波那契数列

2. 递归树分析（以n=5为例）

3. 问题暴露

三、第一次优化：记忆化搜索（Memoization）

1. 核心思想

2. 斐波那契优化实现

3. 复杂度分析

四、第二次进化：自底向上动态规划

1. 思维转变

2. 斐波那契DP实现

3. 空间优化（滚动数组）

五、经典案例：爬楼梯问题（LeetCode 70）

1. 问题描述

2. 暴力递归解法

3. DP优化实现

4. 状态转移方程推导

六、高阶案例：0-1背包问题

1. 问题描述

2. 暴力递归解法

3. 记忆化搜索优化

4. 动态规划终极形态

5. 空间压缩技巧（滚动数组）

七、动态规划解题方法论总结

1. 五步法流程

2. 优化路线图

3. 常见问题处理技巧

八、实战练习建议

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一、什么是动态规划？—— 从人类直觉到算法思维

动态规划（Dynamic Programming, DP） 本质是一种通过"聪明的穷举"解决问题的思想。它的核心是发现重叠子问题和最优子结构，并通过存储中间结果避免重复计算。我们可以通过一个认知升级路线来理解它：

暴力递归 → 发现重复计算 → 记忆化搜索 → 推导状态转移 → 自底向上动态规划

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二、暴力递归：最直观的问题分解方式

1. 示例：斐波那契数列

// 经典递归实现
public int fib(int n) {
    if (n <= 1) return n;
    return fib(n-1) + fib(n-2);
}

2. 递归树分析（以n=5为例）

　　　　 fib(5)
　　　　/　　　\
　 fib(4)　　 fib(3)
  /　　\　　 /　　\
fib(3) fib(2) fib(2) fib(1)
...（继续展开）...

3. 问题暴露

• 重复计算：fib(3)计算2次，fib(2)计算3次

• 指数级复杂度：O(2^n) 时间复杂度，O(n) 栈空间

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三、第一次优化：记忆化搜索（Memoization）

1. 核心思想

• 空间换时间：使用数组/HashMap存储已计算结果

• 剪枝优化：计算前先查询存储结构

2. 斐波那契优化实现

public int fibMemo(int n) {
    int[] memo = new int[n+1];
    Arrays.fill(memo, -1);
    return dfs(n, memo);
}

private int dfs(int n, int[] memo) {
    if (n <= 1) return n;
    if (memo[n] != -1) return memo[n];
    memo[n] = dfs(n-1, memo) + dfs(n-2, memo);
    return memo[n];
}

3. 复杂度分析

• 时间复杂度：O(n) —— 每个子问题只计算一次

• 空间复杂度：O(n) 递归栈 + O(n) 存储空间

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四、第二次进化：自底向上动态规划