leetcode 95.不同的二叉搜索树 Ⅱ

首先分析一下什么是二叉搜索树。因为我本科学习数据结构的时候就是单纯背了一下题库，考试非常简单。现在额外补充学一些之前自己没有学过的内容。有序向量可以二分查找，列表可以快速插入和删除。二叉搜索树可以实现按照关键码访问。call by key .数据表现为词条，这可能和现实联系更加紧密。比如说，我们在 csdn 里面搜索信息，一般都是搜索关键字。然后我们学习，很可能也是第一反应是一些关键字。之前写的堆排序，感觉有点像二叉搜索树，但是好像是优先队列。我这压根就不是复习，是学习。呜呜呜。我太喜欢和别人交流具体知识点了，尤其是我擅长的东西。那些不擅长的东西，希望自己能尽快擅长起来。因为这真的比较重要。中序遍历可以把标准的二叉树垂直映射到 x 轴，所以二叉树的查找类似于向量的二分查找。中序遍历的顺序是左子树，根，右子树。这个就是，输入一个需要查找的元素 e ，然后 e 比当前遍历到的元素小，就遍历到左子树。假设 e 比当前的遍历到的元素大，就遍历到右子树。这里有一个前提，就是认为，左子树是更小的元素，右子树是更大的元素。太难了。不研究了。

直接在算法题里面体会得了。二叉搜索树要求左子树小于等于根节点，右子树大于等于右子树。能不能取到等号，问一下 deepseek 。标准的 bst 是不能取到等号的。

对于 n 个节点生成的二叉搜索树的数量是 catalan(n) ,感觉时间复杂度分析考试应该不会考，算了。不学了。算了，感觉可以记一下，深入研究比较有意思。生成一棵二叉搜索树需要线性的时间，总共有 catalan(n) 棵二叉搜索树，所以时间复杂度是 O(n*catalan(n)) ，$$catalan(n)=\frac{(2n)!}{n!(n+1)!}$$ ，查了一下，是做了一个近似处理，然后得到的卡特兰数的增长速度，其实就是第 n 个卡特兰数的近似表示，$$\frac{4^n}{n^{\frac{3}{2}}\cdot \sqrt{\pi }}$$

数学公式这么写出来真帅啊！时间复杂度和空间复杂度均是 $$O(\frac{4^n}{n^{\frac{1}{2}}})$$

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * struct TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode *left;
 *     TreeNode *right;
 *     TreeNode() : val(0), left(nullptr), right(nullptr) {}
 *     TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
 *     TreeNode(int x, TreeNode *left, TreeNode *right) : val(x), left(left), right(right) {}
 * };
 */
class Solution {
public:
    vector<TreeNode*> generateTrees(int start,int end){
        if(start>end){
            return {nullptr};
        }
        vector<TreeNode*> allTrees;

        for(int i=start;i<=end;i++){
            vector<TreeNode*> leftTrees=generateTrees(start,i-1);
            vector<TreeNode*> rightTrees=generateTrees(i+1,end);

            for(auto& left:leftTrees){
                for(auto& right:rightTrees){
                    TreeNode* currTree=new TreeNode(i);
                    currTree->left=left;
                    currTree->right=right;
                    allTrees.emplace_back(currTree);
                }
            }
        }
        return allTrees;
    }

    vector<TreeNode*> generateTrees(int n) {
        if(!n){
            return {};
        }

        return generateTrees(1,n);
    }
};