线性代数 - 正交矩阵

线性代数 - 正交矩阵

flyfish

理解1 向量几何属性（正交、单位长度）

设$\mathbf{A}$是一个$n$阶实方阵，若$\mathbf{A}$的列向量组或行向量组同时满足以下两个条件，则$\mathbf{A}$是正交矩阵：

1. 两两正交：任意两个不同的列向量（或行向量）的内积为0；
2. 单位向量：每个列向量（或行向量）的模长（长度）为1。

理解2 矩阵代数运算（转置、逆、单位矩阵）

设$\mathbf{A}$是一个$n$阶实方阵，若满足以下两个等价条件之一，则$\mathbf{A}$是正交矩阵：

1. $\mathbf{A}$的转置矩阵等于其逆矩阵，即 ${\mathbf{A}}^T={\mathbf{A}}^{-1}$；
2. $\mathbf{A}$与其转置矩阵的乘积为单位矩阵，即 ${\mathbf{AA}}^T={\mathbf{A}}^T\mathbf{A}={\mathbf{I}}_n$（其中${\mathbf{I}}_n$是$n$阶单位矩阵）。

${\mathbf{A}}^{\mathbf{T}}$（Transpose of A）：矩阵$\mathbf{A}$的转置矩阵（行和列交换后的矩阵）。
${\mathbf{A}}^{-1}$（Inverse of A）：矩阵$\mathbf{A}$的逆矩阵（满足$\mathbf{A}\cdot {\mathbf{A}}^{-1}=\mathbf{I}$的矩阵）。
$\mathbf{I}$（Identity matrix）：单位矩阵（主对角线元素为1，其余为0的方阵）。

正交矩阵示例

如果一个元素为实数的方阵的转置等于该矩阵的逆矩阵，那么这个矩阵被称为正交矩阵。

2×2正交矩阵示例

考虑一个2×2矩阵，即
$$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}\cos x& \sin x\\ -\sin x& \cos x\end{array}\right]$$

我们通过计算该矩阵与其转置的乘积来验证。

矩阵的转置为
$${\mathbf{A}}^T=\left[\begin{array}{cc}\cos x& -\sin x\\ \sin x& \cos x\end{array}\right]$$

因此，
$$\mathbf{A}\cdot {\mathbf{A}}^T=\left[\begin{array}{cc}\cos x& \sin x\\ -\sin x& \cos x\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}\cos x& -\sin x\\ \sin x& \cos x\end{array}\right]$$

展开计算：
$$\mathbf{A}\cdot {\mathbf{A}}^T=\left[\begin{array}{cc}{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x& \sin x\cos x-\sin x\cos x\\ \cos x\sin x-\cos x\sin x& {\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x\end{array}\right]$$

化简后：
$$\mathbf{A}\cdot {\mathbf{A}}^T=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$$

这是单位矩阵。

因此，$\mathbf{A}$是一个2阶正交矩阵的示例。

3×3正交矩阵示例

考虑三维旋转矩阵，即3×3矩阵
$$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos (\theta )& -\sin (\theta )\\ 0& \sin (\theta )& \cos (\theta )\end{array}\right]$$

要验证该矩阵是正交矩阵，需满足以下两点：
验证矩阵的每一列和每一行都是单位向量（即模长为1的向量）；
验证列与列、行与行之间两两正交（即任意两行或两列的点积为0）。

从矩阵中提取列向量：
列1：$\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]$
列2：$\left[\begin{array}{c}0\\ \cos (\theta )\\ \sin (\theta )\end{array}\right]$
列3：$\left[\begin{array}{c}0\\ -\sin (\theta )\\ \cos (\theta )\end{array}\right]$

验证列向量为单位向量：
列1的模长：$\Vert \left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]\Vert =\sqrt{1^2+0^2+0^2}=1$
列2的模长：$\Vert \left[\begin{array}{c}0\\ \cos (\theta )\\ \sin (\theta )\end{array}\right]\Vert =\sqrt{0^2+{\cos }^2(\theta )+{\sin }^2(\theta )}=1$
列3的模长：$\Vert \left[\begin{array}{c}0\\ -\sin (\theta )\\ \cos (\theta )\end{array}\right]\Vert =\sqrt{0^2+{\sin }^2(\theta )+{\cos }^2(\theta )}=1$

因此，每一列都是单位向量。

验证列向量两两正交：
以列1和列2的点积为例：
$$\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}0\\ \cos (\theta )\\ \sin (\theta )\end{array}\right]=1\cdot 0+0\cdot \cos (\theta )+0\cdot \sin (\theta )=0$$

类似地，可验证其他列之间的点积也为0。

因此，该矩阵满足正交矩阵的所有条件。