用Python来学微积分30-微分方程初步

一、微分方程的基本概念

在我们研究的许多实际问题中，变量之间的函数关系往往不能直接建立，但我们却可以建立这些变量与它们的变化率之间的关系式。这样的关系式就是微分方程，它蕴含着变化的内在规律。

1.1 什么是微分方程？

微分方程是含有未知函数导数或微分的方程。如果未知函数是一元函数，则称为常微分方程（ODE）；如果未知函数是多元函数，则称为偏微分方程（PDE）。

微分方程的阶数由方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数决定。例如：

• $\frac{dA(t)}{dt}=rA(t)$ 是一阶微分方程
• $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}-2y=e^x$ 是二阶微分方程
• $y^{\prime \prime \prime }-4y^{\prime \prime }+6y^{\prime }=5$ 是三阶微分方程

1.2 微分方程的解

满足微分方程的函数称为该微分方程的解。解可以分为两类：

• 通解：含有任意常数的解，且任意常数的个数等于微分方程的阶数，并且这些任意常数是相互独立的（即它们不能合并而减少个数）
• 特解：确定了通解中任意常数后得到的解

初值条件用于确定通解中的任意常数，求微分方程满足初值条件的解的问题称为初值问题。

需要特别注意的是，​通解并不一定包含微分方程的所有解​。例如，方程 $(y^{\prime }{)}^2-4y=0$ 有通解 $y=(x+C{)}^2$，但解 $y=0$ 并不包含在这个通解形式中

二、可分离变量的微分方程

2.1 基本形式与解法

形如 $g(y)dy=f(x)dx$ 的微分方程称为可分离变量的微分方程。这类方程的特点是可以将含$x$的项和含$y$的项分离到等号两边。

求解方法很简单：两边同时积分 $$\int g(y)dy=\int f(x)dx$$

设 $G(y)$、$F(x)$ 分别是 $g(y)$、$f(x)$ 的一个原函数，则通解为： $$G(y)=F(x)+C$$ 其中 $C$ 为任意常数。

2.2 实例详解

例1：求解 $\frac{dy}{dx}=2xy$

手动求解：

1. 分离变量：$\frac{1}{y}dy=2xdx$（假设 $y\ne 0$）
2. 两边积分：$\int \frac{1}{y}dy=\int 2xdx$
3. 得到：$\ln |y|=x^2+C_1$
4. 整理：$y=\pm e^{x^2+C_1}=\pm e^{C_1}{e}^{x^2}=C{e}^{x^2}$（其中 C为任意非零常数）
5. 检验 y=0的情况：将 y=0代入原方程，两边均为0，故 y=0也是解，对应 C=0的情况
6. 因此，​通解为 $y=C{e}^{x^2}$（C为任意常数）​，这包含了 y=0的情况

Python求解：

import sympy as spx, y = sp.symbols('x y')
y_func = sp.Function('y')
eq = sp.Eq(y_func(x).diff(x), 2*x*y_func(x))
solution = sp.dsolve(eq)
print(solution)

Python代码执行结果：

Eq(y(x), C1*exp(x**2))

例2：求解 $\frac{dy}{dx}=2x(1+y^2)$

手动求解：

1. 分离变量：$\frac{1}{1+y^2}dy=2xdx$
2. 两边积分：$\int \frac{1}{1+y^2}dy=\int 2xdx$
3. 得到：$\arctan y=x^2+C$
4. 整理：$y=\tan (x^2+C)$

Python求解：

import sympy as spx, y = sp.symbols('x y')
y_func = sp.Function('y')
eq = sp.Eq(y_func(x).diff(x), 2*x*(1 + y_func(x)**2))
solution = sp.dsolve(eq)
print(solution)

Python代码执行结果：

Eq(y(x), tan(C1 + x**2))

三、初值问题

初值问题是求微分方程满足给定初始条件的特解的问题。例如： $$\{\begin{array}{l}\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}\\ y{|}_{x=1}=2\end{array}$$

手动求解步骤：

1. 分离变量：$\frac{1}{y}dy=\frac{1}{x}dx$
2. 两边积分：$\ln |y|=\ln |x|+C$
3. 整理得通解：$y=Cx$（此处 $C=\pm e^{C_1}$）
4. 代入初值条件 $y{|}_{x=1}=2$：$2=C\cdot 1$，得 $C=2$
5. 特解为：$y=2x$

Python求解：

import sympy as spx = sp.symbols('x')
y = sp.Function('y')
eq = sp.Eq(y(x).diff(x), y(x)/x)
# 定义初值条件：当x=1时，y=2
solution = sp.dsolve(eq, ics={y(1): 2})
print(solution)

Python代码执行结果：

Eq(y(x), 2*x)

四、实际应用案例

4.1 投资复利问题

问题：假设以本金 $A_0$ 进行投资，年利率为 $r$，以连续复利计算，求 $t$ 年末的本利和。

建模： 设 $t$ 时刻的本利和为 $A(t)$，则资金变化率等于该时刻资金获取的利息： $$\frac{dA(t)}{dt}=rA(t)$$

求解：

1. 分离变量：$\frac{dA(t)}{A(t)}=rdt$
2. 两边积分：$\int \frac{dA(t)}{A(t)}=\int rdt$
3. 得到：$\ln A(t)=rt+C$
4. 整理：$A(t)=e^{rt+C}=C{e}^{rt}$
5. 代入 $A(0)=A_0$：$A_0=C{e}^0=C$
6. 特解：$A(t)=A_0{e}^{rt}$

Python计算示例：

import numpy as npA0 = 1000  # 初始本金
r = 0.05   # 年利率
t = 10     # 投资年限
A_t = A0 * np.exp(r * t)
print(f"{t}年后的本利和为：{A_t:.2f}元")

Python代码执行结果：

10年后的本利和为：1648.72元

4.2 曲线切线问题

问题：在 $xOy$ 平面上，求过点 $(0,2)$ 的曲线 $y=y(x)$，使曲线上任一点 $(x,y)$ 处的切线与坐标原点 $O$ 到点 $(x,y)$ 的连线垂直。

建模： 曲线在点 $(x,y)$ 处的切线斜率为 $\frac{dy}{dx}$，原点 $O$ 到点 $(x,y)$ 的连线斜率为 $\frac{y}{x}$。由于两者垂直，斜率乘积为 -1： $$\frac{dy}{dx}\cdot \frac{y}{x}=-1\Rightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$$

求解：

1. 分离变量：$ydy=-xdx$
2. 两边积分：$\int ydy=-\int xdx$
3. 得到：$\frac{1}{2}{y}^2=-\frac{1}{2}{x}^2+C$
4. 整理：$x^2+y^2=C$（其中 $C=2C_1$）
5. 代入点 $(0,2)$：$0^2+2^2=C$，得 $C=4$
6. 曲线方程：$x^2+y^2=4$

Python绘图：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as nptheta = np.linspace(0, 2*np.pi, 100)
x = 2 * np.cos(theta)  # 半径为2的圆的参数方程
y = 2 * np.sin(theta)plt.figure(figsize=(8, 8))
plt.plot(x, y, label='$x^2 + y^2 = 4$')
plt.plot(0, 2, 'ro', label='点(0,2)')
plt.arrow(0, 0, 0, 2, head_width=0.1, head_length=0.1, fc='g', ec='g', label='原点至点的连线')
plt.axis('equal')
plt.grid(True)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('曲线切线问题解')
plt.legend()
plt.show()

Python代码执行结果：

五、微分方程的数值解法

当微分方程难以求得解析解时，我们可以采用数值解法。欧拉法是最基本的数值解法之一：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltdef euler_method(f, x0, y0, h, n):"""欧拉法求解微分方程f: 微分方程dy/dx = f(x, y)x0, y0: 初始条件h: 步长n: 步数"""x = np.zeros(n+1)y = np.zeros(n+1)x[0] = x0y[0] = y0for i in range(n):y[i+1] = y[i] + h * f(x[i], y[i])x[i+1] = x[i] + hreturn x, y# 示例：求解dy/dx = x + y, y(0)=1
def f(x, y):return x + yx, y = euler_method(f, 0, 1, 0.1, 100)
plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('欧拉法求解微分方程')
plt.grid(True)
plt.show()

Python代码执行结果：

总结

微分方程作为描述变化规律的有力工具，在数学和实际问题中有着广泛应用。通过本文的学习，我们了解了：

1. 微分方程的基本概念：阶数、通解、特解等
2. 可分离变量方程的解法：分离变量再积分
3. 初值问题的求解：代入初始条件确定特解
4. 实际应用：从复利计算到几何问题

Python中的Sympy库为微分方程的求解提供了便利工具，结合数值方法可以解决更复杂的实际问题。微分方程的学习为我们理解动态系统、连续变化过程奠定了坚实基础。

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往期精彩回顾：

• 用Python来学微积分27-曲线的渐近线
• 用Python来学微积分28-泰勒公式

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下期预告：在下一篇文章中，我们将开始学习定积分。

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参考资料：

1. 扈志明《微积分》教材

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