RSA 算法数学原理

RSA算法是应用最广泛的非对称加密算法。算法核心是“用两个大质数生成公钥和私钥，公钥加密的内容只有对应的私钥能解密”，两者不可逆且成对出现。

一、原理

RSA的本质是利用“大质数分解的数学难题”——把两个大质数相乘很容易，但要把乘积拆回原来的两个质数，在现有技术下几乎不可能，以此保证安全性。

1. 生成密钥对（公钥+私钥）

   • 选两个不相等的质数（演示举例使用小质数，实际用数百位的大质数）
     p=61、q=53。
   • 计算乘积 n = p×q（n=61×53=3233），n 会作为公钥和私钥的共同参数。
   • 计算“欧拉函数” φ(n) = (p-1)×(q-1)（φ(3233)=60×52=3120），用于后续计算私钥。
   • 选一个整数 e（1<e<φ(n)，且 e 与 φ(n) 互质，即最大公约数为1），比如 e=17，(17,3120) 互质，此时 (e,n)=(17,3233) 就是公钥。
   • 计算 d（d 是 e 关于 φ(n) 的“模逆元”，即 (e×d) mod φ(n) = 1），通过计算得 d=2753（即 17×2753=46801，46801 mod 3120=1），此时 (d,n)=(2753,3233) 就是私钥。

2. 公钥加密（任何人都能做）
   假设要加密的明文是 m（m<n，否则需分段），加密公式为：
   密文c = (m^e) mod n
   比如明文 m=65（对应字母“A”的ASCII码），代入得 c=(65^17) mod 3233，计算结果为 2790，这就是加密后的密文。

3. 私钥解密（只有私钥持有者能做）
   解密公式为：
   明文m = (c^d) mod n
   用私钥 d=2753 解密密文 c=2790，即 m=(2790^2753) mod 3233，计算结果会还原为 65，完成解密。

二、实例演示

为了让计算更简单，用更小的质数 p=3、q=11 再演示一遍：

步骤	计算过程	结果（密钥/数据）
1. 选质数	p=3，q=11	-
2. 计算n = p×q	n = 3×11	n=33（公钥/私钥共用）
3. 计算φ(n) = (p-1)×(q-1)	φ(33)=(3-1)×(11-1)	φ(n)=20
4. 选e（1<e<φ(n)，且 e 与 φ(n)互质）	选e=7（1<7<20，且7和20互质）	公钥：(e,n)=(7,33)
5. 算d（e的模逆元,即(e×d) mod φ(n) = 1）	找d使(7×d) mod 20=1，得d=3（7×3=21，21 mod20=1）	私钥：(d,n)=(3,33)
6. 公钥加密 (m^e) mod n（明文m=5）	c=(5^7) mod 33（5^7=78125，78125÷33余6）	密文c=6
7. 私钥解密 (c^d) mod n（密文c=6）	m=(6^3) mod 33（6^3=216，216÷33余5）	明文m=5（还原成功）

三、注意事项

• 实际场景中，p 和 q 是非常大的质数（通常 512、1024、1536、2048位二进制），n 的位数≈p 的位数 + q 的位数（通常 1024、2048、3072、4096 位二进制），未来会逐步过渡到更长。这让“分解n找p、q”的难度达到当前计算机无法破解的程度。
• 公钥可以公开（比如发给别人加密信息），私钥必须保密（只有自己能解密）。