P5091 【模板】扩展欧拉定理

题目描述

给你三个正整数，$a,m,b$，你需要求：$a^b\mathrm{mod}m$

输入格式

一行三个整数，$a,m,b$

输出格式

一个整数表示答案

输入输出样例 #1

输入 #1

2 7 4

输出 #1

2

输入输出样例 #2

输入 #2

998244353 12345 98765472103312450233333333333

输出 #2

5333

说明/提示

注意输入格式，$a,m,b$ 依次代表的是底数、模数和次数

【样例 $1$ 解释】
$2^4\mathrm{mod}7=2$

【数据范围】
对于 $100\%$ 的数据，$1\le a\le 10^9$，$1\le b\le 10^{20000000}，1\le m\le 10^8$。

1. 剩余类、完全剩余系、简化剩余系

• 剩余类：模 $m$ 的两个整数若差为 $m$ 的倍数，则它们属于同一个剩余类。
  即：若 $a\equiv b(\mathrm{mod}m)$，则 $a$ 与 $b$ 属于同一个剩余类。
• 完全剩余系：模 $m$ 的 $m$ 个两两不全同余的整数集合。
  例如：$0,1,2,\dots ,m-1$ 是模 $m$ 的一个完全剩余系。
• 简化剩余系：模 $m$ 下与 $m$ 互质的数所组成的集合。其元素个数为 $\phi (m)$。

2. 费马小定理（Fermat’s Little Theorem）

若 $p$ 为质数，且 $\gcd (a,p)=1$，则
$$a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$$

解释：
当模数是质数 $p$ 时，任意与 $p$ 互质的整数 $a$ 的 $(p-1)$ 次方对 $p$ 取模等于 $1$。
这是欧拉定理的特殊情形（当 $m=p$ 时）。

3. 欧拉定理（Euler’s Theorem）

若 $\gcd (a,m)=1$，则
$$a^{\phi (m)}\equiv 1(\mathrm{mod}m)$$

解释：
这是费马小定理的推广。它说明当 $a$ 与 $m$ 互质时，$a$ 的 $\phi (m)$ 次方在模 $m$ 意义下同余于 1。
其中 $\phi (m)$ 表示欧拉函数，即 1~m 中与 m 互质的数的个数。

4. 扩展欧拉定理

$$a^b\equiv \{\begin{array}{llc}{a}^b,& b<\phi (m),a^{b\mathrm{mod}\phi (m)+\phi (m)},& b\ge \phi (m),\end{array}(\mathrm{mod}m)$$

解释：
当指数 $b$ 很大时，可以利用欧拉函数进行降幂计算：

• 若 $b<\phi (m)$，直接计算 $a^b\mathrm{mod}m$。
• 若 $b\ge \phi (m)$，则先将指数对 $\phi (m)$ 取模，再加上 $\phi (m)$，即可得到等价的指数。
  这在 快速幂取模 与 循环节优化 中十分常用。

定理

对于任意整数 $a$、$n$ 和 $b\ge \varphi (n)$，其中 $\varphi (n)$ 是欧拉函数，满足：
$$a^b\equiv a^{b\mathrm{mod}\varphi (n)+\varphi (n)}(\mathrm{mod}n)$$

适用条件

• 当 $a$ 与 $n$ 互质时，退化为欧拉定理：$a^{\varphi (n)}\equiv 1(\mathrm{mod}n)$。
• 当 $a$ 与 $n$ 不互质时，需满足 $b\ge \varphi (n)$ 才能直接应用。

示例

问题：计算 $2^{100}\mathrm{mod}12$。
步骤：

1. 计算 $\varphi (12)=\varphi (4)\varphi (3)=2\times 2=4$。
2. 因 $b=100\ge \varphi (12)$，应用扩展欧拉定理：
   $$2^{100}\equiv 2^{100\mathrm{mod}4+4}\equiv 2^{0+4}\equiv 16\equiv 4(\mathrm{mod}12)$$

题解

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
typedef long long ll;
string s;
ll a,m;
ll get_phi(ll m)
{int res = m;for(int i=2;i*i<=m;i++){if(m%i==0){res =res/i*(i-1);while(m%i==0)m/=i;}}if(m>1)res = res/m*(m-1);return res;
}ll depow(ll phi_m)
{ll b = 0;bool flag = false;ll sz = s.size();for(int i=0;i<sz;i++){b = b*10+s[i]-'0';if(b>=phi_m){flag=true;b%=phi_m;}}if(flag)b+=phi_m;return b;
}
ll qpow(ll a,ll b,ll p)
{ll res =1;for(;b;b>>=1){if(b&1)res = res*a%p;a = a*a%p;}return res;
}void solve()
{cin>>a>>m>>s;ll phi_m = get_phi(m);ll res = depow(phi_m);ll res2 = qpow(a,res,m)%m;cout<<res2<<endl;}int main()
{ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);int t=1;// cin>>t;while(t--){solve();}return 0;
}