用Python来学微积分29-原函数与不定积分完全指南

开启数学新视角，掌握微积分逆运算的奥秘

大家好！今天我们来一起探索微积分中极具魅力的概念——原函数与不定积分。这是微积分中与求导相对应的"逆运算"，就像加法和减法的关系一样。掌握了它，你就能解决很多实际应用问题！

一、原函数：微积分的"反其道而行之"

1.1 什么是原函数？

让我们从一个简单的例子开始：我们知道函数 $f(x)=2x$ 的导数是 $f^{\prime }(x)=2$。那么反过来，谁的导数是 $2x$ 呢？

通过逆向思维，我们发现 $x^2$ 的导数正好是 $2x$，那么 $x^2$ 就是 $2x$ 的一个原函数。

正式定义：如果在区间 $I$ 上，可导函数 $F(x)$ 的导数为 $f(x)$，即 $F^{\prime }(x)=f(x)$，那么 $F(x)$ 就称为 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的一个原函数。

1.2 原函数的不唯一性

有趣的是，一个函数的原函数并不唯一！比如：

• $(x^2{)}^{\prime }=2x$ ⇒ $x^2$ 是 $2x$ 的原函数
• $(x^2+1{)}^{\prime }=2x$ ⇒ $x^2+1$ 也是 $2x$ 的原函数
• $(x^2-5{)}^{\prime }=2x$ ⇒ $x^2-5$ 还是 $2x$ 的原函数

实际上，同一函数的原函数之间只相差一个常数。如果 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，那么 $f(x)$ 的全体原函数可以表示为 $F(x)+C$（其中 $C$ 为任意常数）。

1.3 验证原函数的性质

手动求解步骤：

1. 写出原函数：$F(x)=x^2+C$
2. 对 $F(x)$ 求导：$F^{\prime }(x)=2x$
3. 验证结果：无论 $C$ 取什么值，导数都是 $2x$

Python 代码实现：

import sympy as sp# 定义符号变量
x = sp.Symbol('x')# 定义函数F(x) = x^2 + C
C = 3  # 可以尝试改变C的值：1, -5, 100...
F = x**2 + C# 计算导数
derivative = sp.diff(F, x)
print(f"F(x) = {F} 的导数是：{derivative}")

代码运行结果和手动计算结果一致，如下：

F(x) = x**2 + 3 的导数是：2*x

二、不定积分：原函数的"全家福"

2.1 不定积分的定义

既然一个函数有无数个原函数，我们需要一种方式来表示所有原函数的集合，这就是不定积分。

函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的全体原函数称为 $f(x)$ 的不定积分，记作： $$\int f(x)dx=F(x)+C$$ 其中：

• $\int$ 是积分号
• $f(x)$ 是被积函数
• $x$ 是积分变量
• $C$ 是积分常数

2.2 不定积分的几何意义

不定积分在几何上表示一簇称为积分曲线的曲线族。这些曲线在横坐标相同的点处的切线互相平行，因为它们在对应点的斜率相同（导数相同）。

2.3 计算不定积分示例

手动求解步骤：

1. 识别被积函数：$f(x)=2x$
2. 回想导数公式：$(x^2{)}^{\prime }=2x$
3. 写出原函数：$F(x)=x^2$
4. 添加积分常数：$\int 2xdx=x^2+C$

Python 代码实现：

import sympy as sp# 定义符号变量
x = sp.Symbol('x')# 定义被积函数
f = 2*x# 计算不定积分
integral_result = sp.integrate(f, x)
print(f"函数 {f} 的不定积分是：{integral_result} + C")

代码运行结果：

函数 2*x 的不定积分是：x**2 + C

三、不定积分的基本公式：微积分的"九九乘法表"

就像学习乘法需要背九九乘法表一样，掌握不定积分需要熟记基本积分公式。这些公式实际上是基本导数公式的逆运算：

3.1 基本积分公式表

积分类型	公式	说明
幂函数	$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ $(n\ne -1)$	最常用的积分公式
指数函数	$\int e^{x}dx=e^x+C$	指数函数积分不变
	$\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$	一般指数函数积分
三角函数	$\int \sin xdx=-\cos x+C$	注意负号！
	$\int \cos xdx=\sin x+C$
倒数	$\int \frac{1}{x} dx = \ln	x

3.2 验证基本积分公式

手动求解示例：求 $\int x^{3}dx$

1. 识别 $n=3$
2. 应用幂函数公式：$\int x^{3}dx=\frac{x^{3+1}}{3+1}+C$
3. 计算结果：$\frac{x^4}{4}+C$

Python 代码实现：

import sympy as sp# 定义符号变量
x = sp.Symbol('x')# 计算多个不定积分
functions = [x**3, sp.sin(x), sp.exp(x), 1/x]print("基本积分公式验证：")
for f in functions:integral = sp.integrate(f, x)print(f"∫({f}) dx = {integral} + C")

代码运行结果：

基本积分公式验证：
∫(x**3) dx = x**4/4 + C
∫(sin(x)) dx = -cos(x) + C
∫(exp(x)) dx = exp(x) + C
∫(1/x) dx = log(x) + C

四、不定积分的性质：简化计算的利器

不定积分有几个非常重要的性质，可以大大简化计算过程。

4.1 线性性质（最重要的性质）

$$\int [k_{1}f(x)+k_{2}g(x)]dx=k_1\int f(x)dx+k_2\int g(x)dx$$

其中 $k_1$、$k_2$ 为常数。

4.2 微分与积分的互逆关系

1. $\frac{d}{dx}\left[\int f(x)dx\right]=f(x)$（先积后导，还原函数）
2. $\int F^{\prime }(x)dx=F(x)+C$（先导后积，还原函数加常数）

4.3 验证线性性质

手动求解步骤：求 $\int (3x^2+2\sin x-5e^x)dx$

1. 应用线性性质：$3\int x^{2}dx+2\int \sin xdx-5\int e^{x}dx$
2. 应用基本公式：
   • $\int x^{2}dx=\frac{x^3}{3}+C_1$
   • $\int \sin xdx=-\cos x+C_2$
   • $\int e^{x}dx=e^x+C_3$
3. 组合结果：$x^3-2\cos x-5e^x+C$

Python 代码实现：

import sympy as sp# 定义符号变量
x = sp.Symbol('x')# 定义复杂函数
f = 3*x**2 + 2*sp.sin(x) - 5*sp.exp(x)print("验证线性性质：")
print(f"原函数：{f}")# 方法一：直接积分
direct_integral = sp.integrate(f, x)
print(f"直接积分结果：{direct_integral}")# 方法二：分别积分再组合
part1 = 3 * sp.integrate(x**2, x)
part2 = 2 * sp.integrate(sp.sin(x), x)
part3 = -5 * sp.integrate(sp.exp(x), x)
combined_integral = part1 + part2 + part3
print(f"分别积分组合结果：{combined_integral}")# 验证两种方法结果是否相同
print(f"结果相同：{sp.simplify(direct_integral - combined_integral) == 0}")

代码运行结果：

验证线性性质：
原函数：3*x**2 - 5*exp(x) + 2*sin(x)
直接积分结果：x**3 - 5*exp(x) - 2*cos(x)
分别积分组合结果：x**3 - 5*exp(x) - 2*cos(x)
结果相同：True

五、实战演练：综合应用

让我们通过一个复杂例子来综合运用所学知识：

求不定积分：$\int (2x^3-3\cos x+\frac{4}{x})dx$

手动求解详细步骤：

1. 拆分积分： $\int (2x^3-3\cos x+\frac{4}{x})dx=2\int x^{3}dx-3\int \cos xdx+4\int \frac{1}{x}dx$

2. 应用基本积分公式：

   • $\int x^{3}dx=\frac{x^4}{4}+C_1$
   • $\int \cos xdx=\sin x+C_2$
   • $\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C_3$

3. 代入并简化： $2\times \frac{x^4}{4}-3\times \sin x+4\times \ln |x|+C=\frac{1}{2}{x}^4-3\sin x+4\ln |x|+C$

4. 验证结果： 对结果求导：$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}{x}^4-3\sin x+4\ln |x|\right)=2x^3-3\cos x+\frac{4}{x}$ ✓

Python 代码实现：

import sympy as sp# 定义符号变量
x = sp.Symbol('x')# 定义被积函数
f = 2*x**3 - 3*sp.cos(x) + 4/x# 计算不定积分
result = sp.integrate(f, x)
print(f"不定积分结果：{result} + C")# 验证结果：对积分结果求导
derivative_check = sp.diff(result, x)
print(f"验证导数：{derivative_check}")
print(f"验证通过：{sp.simplify(derivative_check - f) == 0}")

代码运行结果：

不定积分结果：x**4/2 + 4*log(x) - 3*sin(x) + C
验证导数：2*x**3 - 3*cos(x) + 4/x
验证通过：True

六、总结与思考

今天我们学习了：

• 原函数：导数的逆运算
• 不定积分：所有原函数的集合
• 基本积分公式：必须熟记的"积分表"
• 线性性质：简化复杂积分计算的利器

不定积分是微积分中的重要基础，它为后续学习定积分、微分方程等内容奠定了坚实的基础。

互动环节：

1. 你最喜欢哪个积分公式？为什么？
2. 尝试手动计算 $\int (3x^4+2/x-5\sin x)dx$，并在评论区分享你的步骤和结果！
3. 如果遇到困难，记得使用Python验证你的结果哦！

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往期精彩回顾：

• 用Python来学微积分27-曲线的渐近线
• 用Python来学微积分28-泰勒公式

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下期预告：在下一篇文章中，我们将开始学习曲线的渐近线。

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参考资料：

1. 扈志明《微积分》教材

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