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LeetCode算法日记 - Day 91: 最长数对链

news 2025/11/4 7:55:03

1. 最长数对链

1.1 题目解析

1.2 解法

1.3 代码实现

1. 最长数对链

给你一个由 n 个数对组成的数对数组 pairs ，其中 pairs[i] = [lefti, righti] 且 lefti < righti 。

现在，我们定义一种跟随关系，当且仅当 b < c 时，数对 p2 = [c, d] 才可以跟在 p1 = [a, b] 后面。我们用这种形式来构造 数对链 。

找出并返回能够形成的 最长数对链的长度 。

你不需要用到所有的数对，你可以以任何顺序选择其中的一些数对来构造。

示例 1：

输入：pairs = [[1,2], [2,3], [3,4]]
输出：2
解释：最长的数对链是 [1,2] -> [3,4] 。

示例 2：

输入：pairs = [[1,2],[7,8],[4,5]]
输出：3
解释：最长的数对链是 [1,2] -> [4,5] -> [7,8] 。

提示：

n == pairs.length
1 <= n <= 1000
-1000 <= lefti < righti <= 1000

1.1 题目解析

题目本质
这是一个"最长递增子序列"的变体问题。给定多个区间（数对）（i - j），要求选出最多的区间，使得它们能按照"前一个区间的右端点 < 后一个区间的左端点"的规则连接成链。

常规解法
最直观的想法是枚举所有可能的数对组合，检查哪些能形成合法的链，然后找出最长的那条。可以用回溯或暴力搜索来实现。

class Solution {private int maxLen = 0;public int findLongestChain(int[][] pairs) {boolean[] used = new boolean[pairs.length];backtrack(pairs, used, -1001, 0);return maxLen;}private void backtrack(int[][] pairs, boolean[] used, int lastRight, int len) {maxLen = Math.max(maxLen, len);for(int i = 0; i < pairs.length; i++) {if(!used[i] && pairs[i][0] > lastRight) {used[i] = true;backtrack(pairs, used, pairs[i][1], len + 1);used[i] = false;}}}}

问题分析
暴力枚举的时间复杂度是 O(2^n)，当 n=1000 时，会产生天文数字级别的计算量，完全不可行。我们需要找到问题的"最优子结构"来避免重复计算。

思路转折
观察到：如果我们已经知道"以某个数对结尾的最长链长度"，那么后续数对只需要判断能否连接到这个数对上即可。
这提示我们可以用动态规划：将大问题分解为"以第 i 个数对结尾的最长链"的子问题。但前提是要先排序，这样才能保证遍历时已经处理过所有可能的前驱。更进一步，这个问题类似"活动选择问题"，可以用贪心算法达到更优的 O(n log n) 复杂度。

1.2 解法

算法思想

采用动态规划 + 区间排序：
先按右端点升序排序（贪心思想：右端点越小，后面能接的数对越多）
定义 dp[i] = 以 pairs[i] 结尾的最长链长度状

态转移方程：

dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);

i）排序：按右端点升序排列所有数对

ii）初始化：dp[i] = 1（每个数对单独都能组成长度为 1 的链）

iii）状态转移：

对于每个 pairs[i]，向前遍历所有 pairs[j]（j < i）

如果 pairs[j][1] < pairs[i][0]，说明 pairs[i] 可以接在 pairs[j] 后面

更新 dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)

iv）求答案：遍历 dp 数组，找最大值

易错点

排序依据：必须按右端点排序，而不是左端点。因为右端点越小，给后续数对留的空间越大（贪心思想）

连接条件：是 pairs[j][1] < pairs[i][0]，注意是严格小于，不能等于。题目定义的跟随关系是 b < c

初始化：dp[i] 初始化为 1，不是 0。因为每个数对单独都能组成一条长度为 1 的链

遍历顺序：外层循环从 1 开始（因为 dp[0] 已经是 1），内层循环从 0 到 i-1

1.3 代码实现

// 最长数对链
static class Solution {public int findLongestChain(int[][] pairs) {int n = pairs.length;// 按右端点排序（贪心：右端点越小，后面能接的越多）Arrays.sort(pairs, (a, b) -> a[1] - b[1]);// dp[i] 表示以 pairs[i] 结尾的最长链长度int[] dp = new int[n];Arrays.fill(dp, 1);// 状态转移for (int i = 1; i < n; i++) {for (int j = 0; j < i; j++) {// 如果 pairs[i] 能接在 pairs[j] 后面if (pairs[j][1] < pairs[i][0]) {dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);}}}// 找最大值int ret = 1;for (int i = 0; i < n; i++) {ret = Math.max(ret, dp[i]);}return ret;}
}

复杂度分析