【11408学习记录】考研数学速成：n维随机变量分布函数详解（从定义到边缘分布一网打尽）

数学

概率论与数理统计

n维随机变量及其分布函数

n维随机变量

如果 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 是定义在同一个样本空间 $\Omega$ 上的n个随机变量，则称（$X_1,X_2,\cdots ,X_n$）为n维随机变量或n为随机向量，$X_i(i=1,2,\cdots ,n)$ 称为第 $i$ 个分量.

当 $n=2$ 时，称 $(X,Y)$ 为二维随机变量或二维随机向量.

n维随机变量的分布函数的概率和性质

1. 概念

对任意的n个实数 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ ，称n元函数：

F(x1,x2,⋯,xn)=P{X1≤x1,X2≤x2,⋯,Xn≤xn}F(x_1, x_2, \cdots, x_n) = P\{X_1 \leq x_1, X_2 \leq x_2, \cdots, X_n\leq x_n\} F(x1​,x2​,⋯,xn​)=P{X1​≤x1​,X2​≤x2​,⋯,Xn​≤xn​}

为n维随机变量 $(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 的分布函数或随机变量 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 的联合分布函数.

当 $n=2$ 时，对任意的实数 $x,y$ ，称为二元函数：

F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}F(x, y) = P\{X \leq x, Y \leq y\} F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}

为二维随机变量 $(X,Y)$ 的分布函数或随机变量 $X$ 和 $Y$ 的联合分布函数，记为 $(X,Y)\sim F(x,y)$.

2. 性质

• 单调性： $F(x,y)$ 是 $x,y$ 的单调不减函数：
  • 对任意固定的 $y$ ，当 $x_1<x_2$ 时，$F(x_1,y)\le F(x_2,y)$
  • 对任意固定的 $x$ ，当 $y_1<y_2$ 时，$F(x,y_1)\le F(x,y_2)$
• 右连续性：$F(x,y)$ 是 $x,y$ 的右连续函数：
  • $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }F(x,y)=F(x_0+0,y)=F(x_0,y)$
  • $\underset{y\to y_0^{+}}{\lim }F(x,y)=F(x,y_0+0)=F(x,y_0)$
• 有界性：$F(-\infty ,y)=F(x,-\infty )=F(-\infty ,-\infty )=0,F(+\infty ,+\infty )=1$
• 非负性：对任意的 $x_1<x_2,y_1<y_2$ ，有：
  • P{x1<X≤x2,y1<Y≤y2}=F(x2,y2)−F(x2,y1)=F(x1,y2)+F(x1,y1)≥0P\{x_1 < X \leq x_2, y_1 < Y \leq y_2\} = F(x_2, y_2) - F(x_2, y_1) = F(x_1, y_2) + F(x_1, y_1) \geq 0P{x1​<X≤x2​,y1​<Y≤y2​}=F(x2​,y2​)−F(x2​,y1​)=F(x1​,y2​)+F(x1​,y1​)≥0

边缘分布函数

设二维随机变量 $(X,Y)$ 的分布函数为 $F(x,y)$ ，随机变量 $X$ 与 $Y$ 的分布函数 $F_X(x)$ 与 $F_Y(y)$ 分别称为 $(X,Y)$ 关于 $X$ 和关于 $Y$ 的边缘分布函数. 由概率性质得：

FX(x)=P{X≤x}=P{X≤x,Y<+∞}=lim⁡y→+∞P{X≤x,Y≤y}=lim⁡y→+∞F(x,y)=F(x,+∞)\begin{align} F_X(x) \notag& =P\{X \leq x\} = P\{X \leq x, Y < +\infty\}\\ \notag& = \lim\limits_{y \rightarrow +\infty}P\{X \leq x, Y \leq y\} \\ \notag& = \lim\limits_{y \rightarrow +\infty} F(x, y) = F(x, +\infty) \end{align} FX​(x)​=P{X≤x}=P{X≤x,Y<+∞}=y→+∞lim​P{X≤x,Y≤y}=y→+∞lim​F(x,y)=F(x,+∞)​

同理，有 $F_Y(y)=F(+\infty ,y)$.

英语

每日一句

But this distinction misses the point that it is processing and aggregation, not the mere possession of bits, that gives the data value.(2018, Reading Comprehension, Part A Text 3)

词汇

distinction: n. 区别，明显差别；特征，特性
miss the point: 没有抓住要领
aggregation: n. 聚集，集合，集结
aggregate: v. 总计；聚集，集合

第一步：找谓语

But this distinction misses the point that it is processing and aggregation, not the mere possession of bits, that gives the data value.

第二步：断句

原句中存在3处谓语，包含3件事，其谓语分别位于以下位置：

• misses 为主句谓语
• is 为 that 引导的同位语从句中强调句式的谓语
• gives 为 同位语从句谓语

按照标点、引导词以及谓语可以将原句断开为以下分句：

• But this distinction misses the point —— 主句
• that it is processing and aggregation, not the mere possession of bits, that gives the data value. —— 同位语从句

第三步：简化

主句

But this distinction misses the point

• 主句主语部分：But this distinction
  • 并列连词：but 连接的是上一句与该句，因此不属于该句的核心成分
  • 限定词：this 修饰名词：distinction
  • 名词：distinction 为主句主语核心词
• 主句谓语部分：misses 为及物动词，后接宾语
• 主句宾语部分：the point
  • 定冠词：the 修饰名词：point
  • 名词：point 为宾语核心词

去掉主句扩展部分，就得到了主句核心：

• …… distinction misses …… point —— …… 区别没有抓住……要领

同位语从句

that it is processing and aggregation, not the mere possession of bits, that gives the data value.

• 从句引导词：that 引导同位语从句，修饰名词：point
• 从句主语部分：it is processing and aggregation, not the mere possession of bits, that
  • 该部分为强调句式，其中还存在一处插入语
  • 强调部分：processing and aggregation 为从句主语核心部分
  • 插入语：not the mere possession of bits 修饰从句主语，表示“是……而不是……”
• 从句谓语部分：gives 为及物动词，后接双宾语
• 从句宾语部分：the data value.
  • 定冠词：the 修饰名词：data
  • 名词：data 为动词：gives 的间接宾语修饰直接宾语
  • 名词：value 为直接宾语

去掉从句扩展部分，就得到了从句核心：

• that it is processing and aggregation …… that gives …… data value. —— 正是流程和集合……给了……数据价值