算法工具箱之二分查找

二分查找

核心思想：在有序的集合中，通过每次将搜索范围缩小一半来快速定位目标值。​

使用前提：

（1）顺序结构​​：数据结构必须支持通过索引（如数组）或指针（如链表，但链表二分效率低）进行随机访问。

（2）有序性​​：集合中的元素必须是有序的（升序或降序）。这是二分查找能每次排除一半数据的基础。

下面将二分查找分为标准二分查找；查找第一个等于 target 的元素（适用于有重复元素的数组）；查找最后一个等于 target 的元素；查找第一个大于等于 target 的元素（可用于插入位置）；查找第一个大于 target 的元素为大家讲清楚二分查找这一种算法。

（1）标准二分查找:（时间复杂度：​​O(log n)​​，空间复杂度：​​O(1)​​。）

class Solution {
public:int search(vector<int>& nums, int target) {int left = 0;int right = nums.size() - 1;while(left <= right){int mid = left + (right - left)/2;if(nums[mid] > target){right = mid-1;}else if(nums[mid] < target){left = mid+1;}else{return mid;}}return -1;}
};

这一题是标准二分查找的例题，我们需要先定义left和right指向数组的两端，再定义mid变量来求出每次数组的中间元素的下标。因为数组的元素是递增的，所以当数组中间的元素大于目标值时，我们往左收缩，反之，我们向右收缩。当left与right错开时，整个数组中就没有这个元素，返回-1。

（2）查找第一个与最后一个等于target的位置

class Solution {
public:vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) {if(nums.size() == 0){return {-1,-1};}   int begin = 0;int left = 0;int right = nums.size() - 1;while(left < right){int mid = left + (right - left) /2;if(nums[mid] < target){left = mid + 1;}else{right = mid;}}if(nums[left] != target){return {-1,-1};}else{begin = left;}left = 0;right = nums.size() - 1;while(left < right){int mid = left + (right - left + 1)/2;if(nums[mid] > target){right = mid - 1;}else{left = mid;}}return {begin,right};}
};

算法思路：⽤的还是⼆分思想，就是根据数据的性质，在某种判断条件下将区间⼀分为⼆，然后舍去其中⼀个 区间，然后再另⼀个区间内查找。

算法步骤：

查找左边界：找到第一个等于target的值。

当nums[mid] < target时，说明目标在右侧，所以让left = mid + 1；当nums[mid] >= target时，说明目标在左侧或者当前位置，所以让right = mid。当left == right程序循环终止。若nums[left] != target时，即不存在target值，返回{-1,-1},若存在则把left值储存在begin中。

查找右边界：找到最后一个等于target的值

也是类似的道理，不过mid计算时要向上取整，避免死循环。

（3）查找第一个大于等于target值的元素。

class Solution {
public:int searchInsert(vector<int>& nums, int target) {int left = 0;int right = nums.size() - 1;while(left < right){int mid = left + (right - left)/2;if(nums[mid] < target){left = mid + 1;}else{right = mid;}}if(nums[left] < target){return right + 1;}return right;}
};

核心思想：如果找到目标值直接返回right值，如果没找到则返回right + 1。

使用的方法与前面的二分查找类似。

时间复杂度为O(log n)，空间复杂度O(1)。