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数学分析简明教程课后习题详解——1.2

news 2025/10/30 10:06:24

自用

【Easy】1.用区间表示下列不等式的解

（1） $\left | 1-x \right |-x\geqslant 0$

$\left | 1-x \right |-x\geqslant 0\rightarrow 1+x^2-2x\geqslant x^2$

故 $x\leqslant \frac{1}{2}$ ，用区间表示为： $x\in \left [ -\infty ,\frac{1}{2} \right ]$

（2） $\left | x+\frac{1}{x} \right |\leq 6$

当x>0时，原式子转化成求解不等式组 $\left\{\begin{matrix}x>0 \\ x+\frac{1}{x}\leqslant 6 \end{matrix}\right.$

解得 $3-2\sqrt{2}\leqslant x\leqslant 3+2\sqrt{2}$

根据函数性质，当x<0，两个解区间是关于原点对称的

不等式的解集为： $[-3-2\sqrt{2},-3+2\sqrt{2}]\cup [3-2\sqrt{2},3+2\sqrt{2}]$

（3） $\left ( x-a \right )\left ( x-b \right )\left ( x-c \right )>0$ （a<b<c）

由于x的系数都为正，由数轴穿根法可知

不等式的解集为： $(a,b)\cup (c,+\infty)$

（4） $sinx\geqslant \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

由正弦图像可知，不等式的解集为： $\left [ 2k\pi+\frac{\pi}{4} ,2k\pi+\frac{3\pi}{4}\right ]$

【Easy】2.设S为非空数集，试对下列概念给出定义

（1）S无上界

如果 $\forall b\in R,\exists x_0\in S$ ，使得 $x_0>b$ ,则S无上界

（2）S无界

如果 $\forall b\in R,\exists x_0\in S$ ，使得 $|x_0|>b$ ,则S无界

【Easy】3.证明 $S=\left \{ y|y=2-x^2 ,x\in R\right \}$ 有上界，无下界

对于任何 $x\in R,$ $y=2-x^2 \leqslant 2$ 任何一个大于2的实数都是S的上界，故S有上界

对于任意的 $M>0$ ，取 $x_0=\sqrt{3+M}\in R$ ，存在 $y_0=2-x_0^2=2-3-M=-1-M\in S$

此时 $y_0<-M$ ，因此无下界

【Middle】4.求下列数集的上下确界，并依定义加以验证

（1） $S=\left \{ x|x^2<2 \right \}$ ;

（2） $S=\left \{ x|x=n!,n \in N_+ \right \}$ ;

（3） $S=\left \{ x \right \}$ （x为（0，1）上的无理数）

（4） $S=\left \{ x|x=1-\frac{1}{2^n},n \in N_+ \right \}$

【Middle】5.设S为非空有下界数集，证明

$inf S=\xi \in S\Leftrightarrow \xi =minS$

【Hard】6.设S为非空数集，定义 $S^-=\left \{ x|-x\in S \right \}$ ，证明：

（1） $inf S^-=-supS$

（2） $supS^-=- inf S$

（1）设 $\xi =inf S^-$ ,由下确界的定义知道，对于任意的 $x\in S$ ,有 $x\geqslant \xi$ ，且对于任意的 $\epsilon >0$

且对于任意的 $\epsilon >0$ ，存在 $x_0\in S$ ，使得 $x_0<\xi +\epsilon$

由 $S^-=\left \{ x|-x\in S \right \}$ ,对于任意的 $-x\in S$ ,因为 $x\geqslant \xi$ ，故 $-x\leqslant -\xi$ ，且存在 $-x_0\in S$ ，使得 $-x_0>-\xi -\epsilon$ ，由上确界定义可知 $SupS=-\xi$ ，即 $inf S^-=-supS$

同理可证明（2）成立

提示：这里的转换比较绕， $S^-=\left \{ x|-x\in S \right \}$ 对于这个式子，x是S-里面的元素，-x是S里面的元素，因为 $x\geqslant \xi$ ，可知 $-x\leqslant -\xi$ ，-x是S里面的元素可知S里面的所有元素都是小于等于 $-\xi$ 的，所以显然 $-\xi$ 是其上界，又 $-x_0>-\xi -\epsilon$ ，这里 $-x_0$ 是S里面的一个元素，存在这个元素大于上界减去 $\epsilon$ ，由上确界定义可证 $-\xi$ 是S的上确界

【Hard】7.设A，B皆为非空有界数集，定义数集

$A+B=\left \{ z|z=x+y,x\in A,y\in B \right \}$

证明：（1） $sup(A+B)=sup(A)+sup(B)$

(2) $inf(A+B)=inf(A)+inf(B)$

（1） $sup(A+B)=sup(A)+sup(B)$ ，设 $supA=\xi _1,supB=\xi _2,$

由定义可知 $\forall x\in A,y\in B,\eta _1\leqslant x,\eta _2\leqslant y$ ，

因此 $\xi_1+\xi _2$ 是A+B的上界

$\forall \alpha <\xi_1+\xi_2$ ，记 $\epsilon =\xi_1+\xi _2-\alpha>0$ ，

取 $\alpha_1=\xi_1-\frac{\epsilon }{2}<\xi_1,\alpha_2=\xi_2-\frac{\epsilon }{2}<\xi_2$

$\exists x_0\in A,y_0\in B$ ，使得 $x_0>\alpha _1,y_0>\alpha _2$ ，即 $\exists z_0=x_0+y_0\in A+B$ ，

使 $z_0>\alpha _1+\alpha _2=\alpha$ ，故 $sup(A+B)=sup(A)+sup(B)$

（2）设 $infA=\eta _1,infB=\eta _2,$ $\eta_1<x,\eta_2<y$ ,

即 $\eta_1+\eta_2\leqslant x+y$ ，故 $\eta_1+\eta_2$ 是下界，

$\forall \epsilon > 0,\exists x\in A,y\in B$ ，

使得 $x<\eta _1+\frac{\epsilon }{2},y<\eta _2+\frac{\epsilon }{2}$ ， $x+y<\eta _1+\eta _2+\epsilon$ ，

故 $inf(A+B)=inf(A)+inf(B)$

http://www.dtcms.com/a/545452.html

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