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在模运算中，逆元（Inverse Element）是一个非常重要的概念。给定一个整数 ( a ) 和一个模数 ( m )，( a ) 的逆元 ( inv(a) ) 是满足以下等式的整数 ( x )：

a⋅x≡1(mod m)

也就是说，( a ) 乘以它的逆元 ( x ) 后，对 ( m ) 取模的结果等于 1。

费马小定理（Fermat’s Little Theorem）

费马小定理提供了一种在模数为质数时计算逆元的方法。定理内容如下：

如果 ( p ) 是一个质数，且整数 ( a ) 不是 ( p ) 的倍数（即 ( \gcd(a, p) = 1 )），那么：

[
a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}
]

将等式两边同时乘以 ( a^{-1} )（即 ( a ) 的逆元），得到：

[
a^{p-2} \equiv a^{-1} \pmod{p}
]

因此，( a ) 的逆元可以通过以下公式计算：

[
inv(a) = a^{p-2} \mod p
]

代码实现

在编程中，可以使用快速幂算法高效地计算 ( a^{p-2} \mod p )。以下是 Python 的实现示例：

MOD = 10**9 + 7  # 假设模数是一个质数def inv(a):return pow(a, MOD - 2, MOD)

示例

假设 ( a = 3 )，模数 ( p = 10^9 + 7 )（这是一个常用的质数模数），那么：

[
inv(3) = 3^{109 + 7 - 2} \mod 10^9 + 7
]

计算 ( 3^{109 + 5} \mod 10^9 + 7 ) 的结果就是 3 的逆元。

注意事项

1. 模数必须是质数：费马小定理仅适用于模数 ( p ) 是质数的情况。如果 ( p ) 不是质数，则需要使用扩展欧几里得算法来计算逆元。
2. ( a ) 和 ( p ) 必须互质：即 ( \gcd(a, p) = 1 )。如果 ( a ) 是 ( p ) 的倍数，则逆元不存在。

扩展欧几里得算法

如果模数 ( m ) 不是质数，或者不确定是否是质数，可以使用扩展欧几里得算法来求逆元。该算法可以找到整数 ( x ) 和 ( y )，使得：

[
a \cdot x + m \cdot y = \gcd(a, m)
]

如果 ( \gcd(a, m) = 1 )，那么 ( x ) 就是 ( a ) 的逆元。

总结

• 费马小定理：适用于模数是质数的情况，逆元计算公式为 ( inv(a) = a^{p-2} \mod p )。
• 扩展欧几里得算法：适用于任意模数（只要逆元存在）。

在算法竞赛和密码学中，逆元的计算是非常常见的操作，尤其是在组合数学和模运算相关的题目中。