01 数学建模中M的取值影响及分析

在应急物资调度常涉及条件性约束（如：若启动某储备点，则需满足最低物资储备量；若发生重大灾害，则运输车辆需优先保障）。这类逻辑约束需通过大 M 法转化为线性约束，而 M 的取值直接影响约束的 “生效强度”。

直观的理论分析

设二进制变量$y\in 0,1$表示 “是否触发某条件”（如y=1表示启动应急储备点），连续变量x表示决策变量（如物资调出量）。常见逻辑为：

• 若$y=1$（触发条件），则$x\ge L$（需满足最低要求，如最低调出量）；
• 若$y=0$（不触发），则$x=0$（不调出物资）。

上述表达形式可转化为如下线性约束：
$(1)x\ge L\cdot y-M\cdot (1-y)$
$(2)x\le M\cdot y$

其中，$M$为足够大的常数。当$y=1$时，约束 (2) 变为$x\le M$（不影响，因$M$足够大），约束 (1) 变为$ x \geq L$（生效）；当$y=0$时，约束(1)变为$x \geq −M$（不影响，因$x≥0$），约束(2)变为$x \leq 0$（生效，即x=0）。

M 取值的影响：

• M 过小：若M<L，当y=1时，约束 (2) 可能限制x≤M<L，与约束 (1) 的x≥L矛盾，导致可行域为空；
• M 过大：线性松弛问题的可行域范围膨胀，可能导致求解效率下降（如分支定界树过深），甚至数值不稳定；
• 最优 M：取变量x的理论最大可能值（如储备点最大库存量），确保M≥L且不冗余。

一个简单的案例

问题背景：某地发生地震，需从两个储备点（A 和 B）向灾区调运医疗物资（如绷带）。决策目标是最小化总运输成本，同时满足：

• 若启动储备点（$y_A=1$或$y_B=1$），则该点调出量$x_A$（或$x_B$）不得低于 50 单位（确保灾区基本需求）；
• 若不启动储备点（$y_A=1$或$y_B=1$），则调出量为 0；灾区总需求为 100 单位，需完全满足。

模型参数：A 到灾区的运输成本为单价8元/单位，B到灾区运输成本为单价10元/单位；储备点最大库存量，A为80单位，B为100单位；最低调出量L=50单位，在启动时需满足。

完整模型
决策变量：
$x_A$：从 A 调出的物资量,连续变量,$x_A\ge 0$;
$x_B$：从B调出的物资量,连续变量,$x_B\ge 0$;
$y_A$:是否启动 A,二进制变量,yA∈{0,1}y_A \in \{0,1\}yA​∈{0,1};
$y_B$:是否启动 B,二进制变量,yB∈{0,1}y_B \in \{0,1\}yB​∈{0,1}.

目标函数（最小化运输成本）：
$minz=8x_A+10x_B$

约束条件：
$x_A+x_B==100$ 必须满足灾区总需求
$x_A \geq 50y_A - M(1-y_A) $ A启动
$x_B \geq 50y_B - M(1-y_B) $ B启动
$x_A \leq 80 $ $ A的调出量
$x_B \leq 100 $ B的调出量
$x_A\ge 0,x_B\ge 0$ 连续变量界
yA,yB∈{0,1}y_A, y_B \in \{0,1\}yA​,yB​∈{0,1}二进制变量界

Docplex的求解代码

from docplex.mp.model import Model
import time
def solve_emergency_model(M):# 创建模型m = Model(name="应急物资调度")# 决策变量x_A = m.continuous_var(name="x_A", lb=0)  # 储备点A调出量x_B = m.continuous_var(name="x_B", lb=0)  # 储备点B调出量y_A = m.binary_var(name="y_A")            # 是否启动Ay_B = m.binary_var(name="y_B")            # 是否启动B# 约束条件m.add_constraint(x_A + x_B == 100, "需求满足")  # 总需求100# A的启动约束（大M）m.add_constraint(x_A >= 50 * y_A - M * (1 - y_A), "A下限约束")m.add_constraint(x_A <= M * y_A, "A上限约束")# B的启动约束（大M）m.add_constraint(x_B >= 50 * y_B - M * (1 - y_B), "B下限约束")m.add_constraint(x_B <= M * y_B, "B上限约束")# 库存限制m.add_constraint(x_A <= 80, "A库存限制")m.add_constraint(x_B <= 100, "B库存限制")# 目标函数：最小化运输成本m.minimize(8 * x_A + 10 * x_B)# 求解sol = m.solve()if sol:print(f"当M={M}时：")print(f"x_A = {x_A.solution_value:.0f}, x_B = {x_B.solution_value:.0f}")print(f"y_A = {y_A.solution_value}, y_B = {y_B.solution_value}")print(f"最小总成本 = {m.objective_value:.0f}\n")else:print(f"当M={M}时，无可行解（约束矛盾）\n")# 测试不同M值
time1 = time.time()
solve_emergency_model(M=40)    # 过小
time2 = time.time()
print(f'M=40的求解耗时为：{time2-time1}\n')
solve_emergency_model(M=80)    # 最优
time3 = time.time()
print(f'M=80的求解耗时为：{time3-time2}\n')
solve_emergency_model(M=1000000000)  # 过大
time4 = time.time()
print(f'M=1000000000的求解耗时为：{time4-time3}\n')

运行代码的结果为：

总结

大 M 的取值需严格依据变量理论边界（如库存上限）：

• 过小会导致约束矛盾，丧失可行性；
• 过大不影响最优解，但降低求解效率；
• 合理取值应确保 “刚好覆盖变量最大可能值”，平衡约束有效性与求解效率。