区块链的密码学基石：沙米尔秘密共享（SSS）数学原理详解

密钥分存，尤其是其最经典的实现——沙米尔秘密共享方案 的数学原理非常优美，它巧妙地利用了多项式插值的基本性质。

核心思想

SSS 方案的核心思想可以概括为：

在二维平面上，要唯一确定一条直线，需要2个点；要唯一确定一条抛物线，需要3个点；要唯一确定一个 k-1 次多项式，需要 k 个点。

我们将秘密编码在这个多项式中，然后将这个多项式上的不同点 作为分片 分发给参与者。只有当他们集齐足够多的点（即分片）时，才能还原出这个多项式，从而读出秘密。

数学原理详解（以 Shamir‘s Secret Sharing 为例）

让我们一步步拆解这个过程。假设我们要创建一个 (k, n) 方案，即生成 n 个分片，只要集齐其中任意 k 个就能恢复秘密。

第1步：编码秘密（构造多项式）

1. 选择一个素数 p：
   • 这定义了一个有限域 GF(p)，所有运算都在这个域上进行，可以保证计算的精确性和安全性。p 必须大于可能的秘密值和分片数量 n。在实践中，p 通常是一个大素数。
2. 定义秘密 S：
   • 你的秘密 S 是一个数字，并且 0 < S < p。如果秘密不