当前位置：首页 > news >正文

Merton模型与期权定价

news 2025/10/27 9:10:18

一、Merton 模型基本原理

（一）泊松分布与泊松过程

泊松分布就是“数数”，泊松过程就是“等时间”。

1. 泊松分布：负责“数数”

它解决的问题是：在给定时间长度 $t$ 内，事件恰好发生 $k$ 次的概率是多少？

公式是 $P(J(t)=k)= (\lambda t)^k \times \frac{e^{-\lambda t}}{k!}$

这里的 $\lambda$ 是单位时间内事件的平均发生次数（强度）， $k$ 是你观察到的实际发生次数。它只关心“数了多少个”，不关心具体发生在哪个时间。

2. 泊松过程：负责“等时间”

它把泊松分布扩展成一个随时间演化的随机过程：

在任意时间区间内，事件发生的次数服从泊松分布。
泊松过程是一个计数过程，满足独立增量和平稳增量的性质。
事件发生的概率与时间区间的长度成正比，且在不相交的时间区间内，事件的发生是相互独立的。
相邻事件之间的等待时间 $\tau_1, \tau_2, \tau_3....$ 被设定为独立同分布的指数分布，即 $f(\tau)=\lambda e^{-\lambda\tau}$ 。

设 $J (t)$ 表示在从时间0到时间 $t$ 内事件累计发生的次数，则 $J(t)$ 服从参数为 $\lambda t$ 的泊松分布，其中 $\lambda$ 是事件发生的强度。
泊松分布的概率质量函数为 $P(J(t) = k) = \frac{(\lambda t)^k e^{-\lambda t}}{k!}$ ，其中 k 是事件发生的次数。