数据结构——散列函数的构造方法

散列函数的构造方法

散列函数的设计是散列表高效运行的基础，一个好的散列函数能让关键字映射后的散列地址分布均匀，从而减少冲突的发生。构造散列函数时，需要结合关键字的特点（如类型、分布范围）和散列表的容量，选择合适的映射规则。常用的散列函数构造方法有多种，每种方法都有其适用场景，下面逐一进行介绍。

1. 构造散列函数的基本原则

在介绍具体方法前，需要明确构造散列函数应遵循的基本原则，这些原则是衡量一个散列函数优劣的标准。

（1）确定性
对于同一个关键字，无论何时、何地计算，散列函数都应返回相同的散列地址。例如，若关键字“202305”第一次计算得到地址5，第二次计算也必须得到5，否则会导致查找混乱。

（2）高效性
散列函数的计算过程应简单快速，避免复杂的运算（如大量乘法、除法），否则会抵消散列表“直接映射”带来的效率优势。例如，简单的取余运算比复杂的多项式求值更适合作为散列函数。

（3）均匀性
这是最核心的原则，即散列函数应尽可能让关键字均匀分布在散列表的各个地址上，避免大量关键字集中映射到少数几个地址（称为“聚集”）。聚集会导致频繁冲突，严重降低查找效率。

2. 常用的散列函数构造方法

（1）直接定址法
直接定址法是最简单的散列函数构造方法，它直接利用关键字或关键字的线性函数作为散列地址，公式为：
$$H(key)=key\text{或}H(key)=a\times key+b$$
其中$a$和$b$是常数（$a\ne 0$）。

例如，若要存储学生的年龄信息（关键字为年龄，范围18_{25），散列表容量设为10（地址0}9），可选择$H(key)=key-18$：年龄18对应地址0，19对应地址1，…，25对应地址7，地址分布均匀且无冲突。

这种方法的优点是计算简单、无冲突（只要关键字不重复）；缺点是仅适用于关键字分布范围较小且连续的情况，若关键字范围大（如10位学号），会导致散列表容量过大，浪费空间。

（2）除留余数法
除留余数法是最常用的散列函数构造方法，它将关键字除以散列表容量$m$，取余数作为散列地址，公式为：
$$H(key)=key\mathrm{mod}m$$

例如，散列表容量$m=13$（通常选质数），关键字$key=123$，则$H(123)=123\mathrm{mod}13=6$（因13×9=117，123-117=6）；关键字$key=246$，则$H(246)=246\mathrm{mod}13=246-13\times 18=246-234=12$。

这种方法的关键是选择合适的$m$：若$m$是合数，可能导致地址分布不均（例如$m=10$时，偶数关键字都会映射到偶数地址）；因此$m$通常选择质数，或不包含小于20的质因数的合数，以减少聚集。除留余数法适用于关键字为整数的情况，且对关键字分布范围无限制，应用广泛。

（3）数字分析法
数字分析法适用于关键字位数较多，且关键字的某几位分布均匀（即各数字出现概率相近）的情况。它从关键字的各位中选取分布均匀的几位，组合成散列地址。

例如，某系统的用户ID是10位数字（如2023051201、2023051202、…），分析发现前6位“202305”是固定前缀，后4位中前两位“12”是月份，分布集中，而后两位“01、02、…、31”是日期，分布均匀（01~31每个数字出现概率相近）。因此可选择后两位作为散列地址，即$H(key)=$ 关键字的后两位数值。

这种方法的优点是能充分利用关键字的分布特征，地址均匀性好；缺点是需要预先分析关键字的分布，若分布特征不明显则难以应用（如随机生成的关键字）。

（4）平方取中法
平方取中法先将关键字平方，然后取平方数中间的几位作为散列地址。平方运算会使关键字的各位数字都参与运算，中间几位通常能较好地反映原关键字的特征，分布更均匀。

例如，关键字$key=123$，平方后为$123^2=15129$，若散列表容量为100（地址0~99），取中间两位“12”，则$H(123)=12$；关键字$key=456$，平方后为$456^2=207936$，取中间两位“79”，则$H(456)=79$。

这种方法适用于关键字位数较少，或分布不明显的情况（如随机整数），缺点是计算稍复杂（需平方运算）。

（5）折叠法
折叠法将关键字按散列表地址位数分成若干段，然后将各段叠加（舍去进位）得到散列地址，类似将纸条折叠后求和。根据叠加方式不同，可分为移位折叠（各段末位对齐后相加）和边界折叠（段与段反向对齐后相加）。

例如，关键字$key=123456789$，散列表地址为2位（0~99），将关键字分为3段：12、34、56、789（最后一段可短些）。

• 移位折叠：12 + 34 + 56 + 789 = 891，取后两位得$H(key)=91$；
• 边界折叠：12 + 43（34反向） + 56 + 987（789反向）= 12+43+56+987=1098，取后两位得$H(key)=98$。

这种方法适用于关键字位数较多（如长字符串、身份证号）且无法通过数字分析法找到均匀分布位的情况，计算简单，地址分布较均匀。

综上，散列函数的构造方法需根据关键字的类型、分布特征和散列表容量选择：直接定址法适合小范围连续关键字，除留余数法适用范围最广，数字分析法依赖关键字分布特征，平方取中法和折叠法适合长关键字或分布不明显的情况。核心目标是通过合理的映射规则，让散列地址尽可能均匀，为减少冲突奠定基础。