【数据结构】数据结构核心考点：AVL树删除操作详解（附平衡旋转实例）

导读

大家好，很高兴又和大家见面啦！！！

在上一篇内容中我们介绍了AVL树插入操作中的平衡旋转技巧（LL、LR、RR、RL旋转）后，我们了解到旋转是维护AVL树平衡的核心机制。

然而，删除操作可能引发更复杂的不平衡问题，且这种不平衡可能沿父节点路径向上传导，需多次调整。

那么，如何系统处理AVL树的删除，确保树始终保持平衡？现在，让我们直接进入正文，逐步解析删除操作的具体实现。

一、AVL树的删除步骤

AVL树的删除操作与 BST 的删除操作相似但又有所不同：

• 相同点：对删除结点的处理相同
• 不同点：会对失去平衡的 BST 进行平衡旋转恢复其平衡状态

下面我们就来熟悉一下 AVL树 的删除操作的具体步骤。AVL树 的删除操作可以总结为5步：

• 使用 BST 的方法对 AVL树 进行结点的删除操作
• 完成删除后，开始向上查找，找到第一个最小不平衡子树
  • 若删除操作对 AVL树 的平衡性没有影响，则完成删除操作
  • 若删除操作对 AVL树 的平衡性有影响，则进入第三步
• 找到 最小不平衡子树 的最高的 孩子 和 孙子
• 按照 孙子 的位置，对 最小不平衡子树 进行平衡旋转：
  • 孙子 为 最小不平衡子树 的 左孩子 $L$ 的 左子树 $L$，即满足 $LL$ 平衡旋转，则需要对 最小不平衡子树 进行一次 右单旋转（$LL$ 平衡旋转），使其恢复平衡
  • 孙子 为 最小不平衡子树 的 左孩子 $L$ 的 右子树 $R$，即满足 $LR$ 平衡旋转，则需要对 最小不平衡子树 的 左孩子 先进行一次 左单旋转 再对该 最小不平衡子树 进行一次 右单旋转（$LR$ 平衡旋转），使其恢复平衡
  • 孙子 为 最小不平衡子树 的 右孩子 $R$ 的 右子树 $R$，即满足 $RR$ 平衡旋转，则需要对 最小不平衡子树 进行一次 左单旋转（$RR$ 平衡旋转），使其恢复平衡
  • 孙子 为 最小不平衡子树 的 右孩子 $R$ 的 左子树 $L$，即满足 $RL$ 平衡旋转，则需要对 最小不平衡子树 的 右孩子 先进行一次 右单旋转 再对该 最小不平衡子树 进行一次 左单旋转（$RL$ 平衡旋转），使其恢复平衡
• 完成平衡旋转后，继续向上查找 最小不平衡子树：
  • 若 AVL树 的不平衡性没有向上传导，则完成删除
  • 若 AVL树 的不平衡性向上传导，则回到第三步，直到整棵树恢复平衡

注：
若各位朋友对 BST 的删除操作不太熟悉，可以回顾：【数据结构】考研数据结构核心考点：二叉排序树(BST)全方位详解与代码实现
若各位朋友对 AVL树 的平衡旋转不太熟悉，可以回顾：【数据结构】考研数据结构核心考点：AVL树插入操作深度解析——从理论到实践的旋转平衡实现

二、AVL树的删除用例

为了更好的理解整个删除的过程，下面我们以具体的例子来进行删除演示：

2.1 用例1：删除结点不影响平衡

在下面这棵 AVL树 中，我们需要对结点 $7$ 进行删除：

根据 BST 的删除规则，我们可以直接对其进行删除：

可以看到，该结点的删除不影响整个树的平衡，因此完成删除；

2.2 用例2：最小不平衡子树中，孙子位于 LL

在下面这棵 AVL树 中，我们需要删除结点 $78$：

根据 BST 的删除规则，由于该删除结点只有一个孩子，因此完成删除后直接用其孩子替代该结点：

当删除完该结点后，通过向上查找，我们找到了 最小不平衡子树 ，其根结点的值存储的值为 $44$ ，因此我们需要找到该结点最高的孩子与孙子：

根结点最高的孩子为其 左孩子 （L），其最高的孙子为其 左孩子 的 左子树（L），因此我们需要对其进行一次 右单旋转：

可以看到，在完成旋转后，这棵 BST 已经恢复了平衡，因此完成删除；

2.3 用例3：最小不平衡子树中，孙子位于 LR

在下面这棵 AVL树 中，我们需要删除结点 $78$：

和前一个例子一样，被删除的结点只有一个孩子，因此删除该结点后，直接用其孩子来顶替该结点的位置：

删除该结点后，我们通过向上查找，找到第一棵 最小不平衡子树 ，其根结点为 $44$ 。接下来我们需要找到该结点的最高的 孩子 和最高的 孙子 ：

其最高的孩子为 左孩子（L），其最高的孙子为其 左孩子 的 右子树（R），因此我们需要对其 左孩子 先进行一次 左单旋转，再对其进行一次 右单旋转：

完成旋转后，这棵 BST 已经恢复了平衡，因此完成删除；

2.4 用例4：最小不平衡子树中，孙子位于 RR

在下面这棵 AVL树 中，我们需要删除结点 $32$：

在这棵 AVL树 中，被删除的结点只有一个孩子，因此删除该结点后，直接用其孩子来顶替该结点的位置：

删除完结点后，通过向上查找，我们找到了最小不平衡子树：$44$，因此我们需要找到该棵树的最高的 孩子 和最高的 孙子：

其最高的孩子为 右孩子 （R），其最高的孙子为 右孩子 的 右子树（R），因此我们需要对该树进行一次 左单旋转 ：

完成旋转后，这棵 BST 已经恢复了平衡，因此完成删除；

2.5 用例5：最小不平衡子树中，孙子位于 RL

在下面这棵 AVL树 中，我们需要删除结点 $32$：

由于该结点只有一个孩子，根据 BST 删除规则，在删除完该结点后，我们需要直接用其孩子来替代该结点的位置：

删除完该结点后，通过向上查找，我们找到了 最小不平衡子树 ：$44$，接下来我们需要找到其最高的 孩子 和最高的 孙子：

其最高的孩子为 右孩子（R），其最高的孙子为 右孩子 的 左子树（L），因此我们需要先对其 右孩子 进行一次 右单旋转 ，再对其做一次 左单旋转：

完成旋转后，该棵 BST 又重新恢复平衡，因此完成删除；

2.6 用例6：最小不平衡子树向上传导

在下面这棵 AVL树 中，我们需要删除结点 $44$：

由于该结点有两个孩子，根据 BST 的删除规则，我们在完成结点删除后，可以通过它的直接前驱或者直接后继来替代该结点的位置：

• 直接前驱：其左子树的最后侧孩子——$37$
• 直接后继：其右子树的最左侧孩子——$48$

旋转不同的孩子结点进行替代，可能会导致不同的结果，这里我们通过肉眼观察不难看出：

• 当采用直接后继时，失去平衡的为整棵树，因为前面已经探讨过，这里就不再介绍；
• 当采用直接前驱时，树的不平衡性会向上传导，因此，这里我们重点关注这种情况；

注意：这里是为了给大家介绍不平衡向上传导的情况，因此选择的是直接前驱；而在实际情况中，我们只需要根据自己的需求进行选择就好

接下我们通过结点 $44$ 的直接前驱 $37$ 来替代该结点的位置，由于进行替换的结点只有一个孩子，因此该结点的位置由其孩子进行替代：

通过向上查找，我们找到了 最小不平衡子树 ，其根结点为 $37$ ，因此我们需要找到其最高的 孩子 和最高的 孙子：

其最高的孩子为 右孩子（R），其最高的孙子为其 右孩子 的 左子树（L），因此我们需要对 最小不平衡子树 的 右孩子进行一次 右单旋转：

再对该 最小不平衡子树 进行一次 左单旋转：

完成平衡调整后，我们继续向上查找，发现此时的 最小不平衡子树 为 $33$ ，因此我们需要找到其最高的 孩子 和最高的 孙子：

其最高的孩子为其 左孩子（L），其最高的孙子为 左孩子 的 左子树（L），因此我们需要先对其 左孩子 进行一次左单旋转：

再对该 最小不平衡子树 进行一次 右单旋转：

经过这一的平衡旋转后，整棵树已经恢复了平衡，因此结束删除；

结语

今天的内容到这里就结束了，通过今天的学习，我们系统性地掌握了AVL树删除操作的核心机制。

下面我们一起回顾以下本文的重要知识点：

核心操作步骤：

1. 按照BST规则进行节点删除
2. 向上查找第一个最小不平衡子树
3. 根据"孙子节点"位置判断旋转类型（LL/LR/RR/RL）
4. 执行对应的单旋或双旋操作
5. 检查不平衡是否向上传导，必要时重复调整

关键技巧：

• 通过"最高孩子→最高孙子"的路径判断旋转类型

• 双旋操作需要先对子节点旋转，再对根节点旋转

• 删除操作可能引发连锁不平衡，需要持续向上调整

实际应用：

• 通过6个典型用例，我们完整覆盖了各种删除场景，特别是用例6展示的不平衡向上传导情况，帮助大家深入理解AVL树的自平衡特性。

掌握了AVL树的插入和删除操作后，相信大家对平衡二叉搜索树有了更深刻的理解。这些基础知识对于学习更高级的数据结构（如红黑树、B树等）至关重要。

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