动态规划or分治法——力扣53.最大子数组和

力扣53.最大子数组和

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【LeetCode 53】最大子数组和（Java 详细题解 + 动态规划 + 分治法拓展）

一、题目描述

给定一个整数数组 nums，找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

示例 1：

输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出：6
解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6

示例 2：

输入：nums = [1]
输出：1

示例 3：

输入：nums = [5,4,-1,7,8]
输出：23

提示：

• 1 <= nums.length <= 10⁵
• -10⁴ <= nums[i] <= 10⁴

进阶：
如果你已经实现 O(n) 的解法，请尝试使用分治法实现。

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二、思路分析

这道题的核心思想是：

对于数组中的每一个元素，判断“以它结尾的最大子数组和”是多少。

换句话说，我们在遍历数组时，需要不断地记录“当前最大连续和”，并实时更新“全局最大值”。

1. 动态规划思路（Kadane 算法）

设 dp[i] 表示 以第 i 个元素结尾的最大连续子数组和，则有：

dp[i] = max(nums[i], dp[i-1] + nums[i])

解释：

• 如果 dp[i-1] + nums[i] 比 nums[i] 大，说明把当前元素接到前面的子数组更优；
• 否则，从当前元素重新开始计算。

最终答案就是所有 dp[i] 中的最大值。

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三、代码实现（Java）

class Solution {public int maxSubArray(int[] nums) {// 边界条件if (nums == null || nums.length == 0) {return 0;}int currentSum = nums[0];  // 当前子数组的最大和int maxSum = nums[0];      // 全局最大和// 从第二个元素开始遍历for (int i = 1; i < nums.length; i++) {// 如果前面的和为负数，不如从当前元素重新开始currentSum = Math.max(nums[i], currentSum + nums[i]);maxSum = Math.max(maxSum, currentSum);}return maxSum;}
}

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四、复杂度分析

项目	分析
时间复杂度	O(n)，只需一次遍历数组
空间复杂度	O(1)，只使用常数级变量保存当前和与最大和

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五、举例讲解

以 nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4] 为例：

i	nums[i]	currentSum 计算	currentSum	maxSum
0	-2	初始化	-2	-2
1	1	max(1, -2+1)=1	1	1
2	-3	max(-3, 1-3)=-2	-2	1
3	4	max(4, -2+4)=4	4	4
4	-1	max(-1, 4-1)=3	3	4
5	2	max(2, 3+2)=5	5	5
6	1	max(1, 5+1)=6	6	6
7	-5	max(-5, 6-5)=1	1	6
8	4	max(4, 1+4)=5	5	6

最终结果：maxSum = 6

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六、进阶：分治法（Divide and Conquer）

除了线性动态规划，还可以使用分治法解决。

思想

将数组分为左右两部分：

• 最大子数组要么在左半部分；
• 要么在右半部分；
• 要么跨越中点。

我们递归计算左右部分的最大子数组和，再计算中间跨越部分的最大和。

实现思路简要

class Solution {public int maxSubArray(int[] nums) {return divide(nums, 0, nums.length - 1);}private int divide(int[] nums, int left, int right) {if (left == right) return nums[left];int mid = (left + right) / 2;int leftSum = divide(nums, left, mid);int rightSum = divide(nums, mid + 1, right);int crossSum = cross(nums, left, right, mid);return Math.max(Math.max(leftSum, rightSum), crossSum);}private int cross(int[] nums, int left, int right, int mid) {int leftMax = Integer.MIN_VALUE;int sum = 0;for (int i = mid; i >= left; i--) {sum += nums[i];leftMax = Math.max(leftMax, sum);}int rightMax = Integer.MIN_VALUE;sum = 0;for (int i = mid + 1; i <= right; i++) {sum += nums[i];rightMax = Math.max(rightMax, sum);}return leftMax + rightMax;}
}

复杂度分析：

• 时间复杂度：O(n log n)
• 空间复杂度：O(log n)（递归栈）

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七、总结对比

方法	思路	时间复杂度	空间复杂度	特点
动态规划（Kadane）	从左到右线性扫描	O(n)	O(1)	简洁高效
分治法	递归拆分区间	O(n log n)	O(log n)	理论性强、适合理解问题结构

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八、总结

本题是经典的动态规划入门题，掌握后能帮助你理解一类“区间连续最优问题”。
无论是求最大子数组和，还是其他类似的最大连续区间问题，Kadane 算法都是最重要的基础算法之一。

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