CORDIC三角计算技术

CORDIC 原理论文信息

• 标题: The CORDIC Trigonometric Computing Technique

• 作者: Jack E. Volder

• 发表出处: IRE Transactions on Electronic Computers, Volume EC-8, Issue 3, Sept. 1959

• 页码: 330-334

• DOI: 10.1109/TEC.1959.5222693

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《CORDIC三角计算技术》中文翻译

摘要

本文描述了一种用于三角学计算的坐标旋转数字计算机技术。该机器通过执行以下迭代方程来进行平面旋转和三角函数计算：

xi+1=xi−m⋅yi⋅di⋅2−iyi+1=yi+xi⋅di⋅2−izi+1=zi−di⋅eixi+1​yi+1​zi+1​​=xi​−m⋅yi​⋅di​⋅2−i=yi​+xi​⋅di​⋅2−i=zi​−di​⋅ei​​

其中 mm 取值为 +1+1（用于圆周坐标系）、00（用于线性坐标系）或 −1−1（用于双曲坐标系）。对于 m=1m=1，eiei​ 是满足 tan⁡(ei)=2−itan(ei​)=2−i 的角度。该技术特别适用于那些具有并行寄存器移位和高速加法器，但乘法器速度较慢或成本高昂的计算机。它允许在约 nn 次加法中计算 nn 位三角函数，而使用乘法器则需要约 nn 次乘法。

1. 引言

在实时数字计算机中，经常需要将平面坐标系中的一个点 (X,Y)(X,Y) 旋转一个角度 ZZ，或者等价地，计算向量 (X,Y)(X,Y) 的幅度和相位角。这些计算通常涉及以下方程：

x=Xcos⁡Z−Ysin⁡Zy=Ycos⁡Z+Xsin⁡Zxy​=XcosZ−YsinZ=YcosZ+XsinZ​

或者，为了计算幅度 RR 和角度 AA：

R=(X2+Y2)1/2A=arctan⁡(Y/X)RA​=(X2+Y2)1/2=arctan(Y/X)​

这些计算通常需要四个乘法、两个加法/减法以及一个平方根或时间上的三角计算。在那些具有快速加法器但乘法器速度较慢或成本高昂的计算机中，能够在不使用乘法器的情况下执行这些操作是可取的。本文描述了一种技术，它通过一系列移位和加法操作来实现这些计算，这些操作与计算数字的位数成比例。

2. CORDIC 计算技术

该技术可以通过考虑图1所示的平面旋转来可视化。

（图1，展示一个向量 (x, y) 旋转角度 θ 到新位置 (x', y')。）

旋转可以通过以下矩阵运算表示：

[x′y′]=[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ][xy][x′y′​]=[cosθsinθ​−sinθcosθ​][xy​]

如果我们将旋转角度 θθ 分解为一系列微旋转，每个微旋转一个二进制位，会如何？也就是说，我们选择一系列角度 θiθi​，使得 θ=∑θiθ=∑θi​，并且每个 θiθi​ 的正切值是2的负幂次：

tan⁡θi=±2−itanθi​=±2−i

那么，

θi=arctan⁡(2−i)θi​=arctan(2−i)

这些角度是固定的，可以预先计算并存储在计算机中。现在，第 ii 次微旋转（旋转角度 θiθi​）的方程变为：

xi+1=Ki(xi−yi⋅di⋅2−i)yi+1=Ki(yi+xi⋅di⋅2−i)xi+1​yi+1​​=Ki​(xi​−yi​⋅di​⋅2−i)=Ki​(yi​+xi​⋅di​⋅2−i)​

其中 di=±1di​=±1（用于控制旋转方向），并且 Ki=cos⁡θi=(1+2−2i)−1/2Ki​=cosθi​=(1+2−2i)−1/2。

因子 KiKi​ 在每次迭代中都会出现。然而，如果我们进行固定次数的旋转，并且所有旋转方向都已知，那么总的比例因子 K=∏KiK=∏Ki​ 是一个常数。对于大量的迭代次数，KK 趋近于 0.60725...。因此，如果我们事先知道要旋转的总角度，我们可以通过使用这个常数 KK 来补偿比例因子。

但是，如果我们希望旋转一个未知的角度 ZZ 呢？在这种情况下，我们可以引入一个第三个变量，它累积到目前为止的旋转角度。我们从一个初始向量 (x0,y0)(x0​,y0​) 和角度 z0z0​（即我们想要旋转的角度）开始。然后我们执行以下迭代：

xi+1=xi−yi⋅di⋅2−iyi+1=yi+xi⋅di⋅2−izi+1=zi−di⋅θixi+1​yi+1​zi+1​​=xi​−yi​⋅di​⋅2−i=yi​+xi​⋅di​⋅2−i=zi​−di​⋅θi​​

其中 di=sign(zi)di​=sign(zi​)（即，如果 zizi​ 为正，则 di=+1di​=+1；如果 zizi​ 为负，则 di=−1di​=−1）。这样，变量 zizi​ 会驱使它自己趋向于零。在迭代过程结束时，znzn​ 将为零（或在最低位精度范围内），并且我们已经有效地旋转了初始角度 z0z0​。

请注意，比例因子 KiKi​ 在上面的方程中被省略了。为了校正这个，我们可以通过乘以预计算的常数 KK 来预先缩放初始的 x0x0​ 和 y0y0​，或者在计算完成后进行校正。

3. 计算模式

CORDIC技术可以以两种基本模式运行：

1. 旋转模式：将一个向量旋转一个角度 z0z0​。初始时加载 (x0,y0,z0)(x0​,y0​,z0​)，其中 z0z0​ 是所需旋转的角度。经过迭代后，结果得到 (xn,yn,0)(xn​,yn​,0)，其中：

   xn=K(x0cos⁡z0−y0sin⁡z0)yn=K(y0cos⁡z0+x0sin⁡z0)xn​yn​​=K(x0​cosz0​−y0​sinz0​)=K(y0​cosz0​+x0​sinz0​)​

   通过选择特殊的初始值，我们可以直接计算三角函数。例如，设置 x0=1/Kx0​=1/K, y0=0y0​=0，则：

   xn=cos⁡z0yn=sin⁡z0xn​yn​​=cosz0​=sinz0​​

2. 向量化模式：计算一个向量的幅度和角度。初始时加载 (x0,y0,z0=0)(x0​,y0​,z0​=0)。迭代规则中的 didi​ 现在由 yiyi​ 的符号决定：di=−sign(yi)di​=−sign(yi​)。这样做的目的是在每次迭代中旋转向量，使其趋向于x轴（即使 yiyi​ 趋向于零）。迭代结束后，我们有：

   xn=Kx02+y02(幅度)zn=z0+arctan⁡(y0/x0)(角度)xn​zn​​=Kx02​+y02​​(幅度)=z0​+arctan(y0​/x0​)(角度)​

4. 硬件实现与扩展

CORDIC算法的美妙之处在于其硬件实现的简洁性。它只需要三个寄存器（X, Y, Z）、两个移位器（用于产生 2−i2−i 项）和三个加法器/减法器。通过简单的序列控制，同一套硬件可以用于旋转和向量化模式，以及计算各种三角函数和反三角函数。

沃尔特在论文中还指出，通过改变角度序列 eiei​ 和参数 mm，该技术可以扩展到线性函数（m=0m=0，此时 ei=2−iei​=2−i）和双曲函数（m=−1m=−1，此时 ）的计算。

5. 结论

CORDIC技术是一种高效的计算方法，特别适合于没有硬件乘法器的数字系统。它用简单的移位和加法操作取代了复杂的乘法运算，为实现三角函数、反三角函数、幅度计算等提供了强有力的工具。

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补充说明

1. 术语： “CORDIC” 是 Coordinate Rotation Digital Computer（坐标旋转数字计算机）的缩写。

2. 后续发展： 沃尔特的原始论文主要关注三角计算。后来，约翰·R·沃尔特等人将CORDIC算法推广到双曲坐标系和线性坐标系，使其能够计算双曲函数、指数函数、对数函数等，极大地扩展了其应用范围。

3. 现代应用： 尽管现代通用CPU拥有强大的浮点运算单元，CORDIC算法因其硬件实现简单、节省资源的特点，至今仍在数字信号处理器、FPGA、专用集成电路以及各种嵌入式系统中广泛应用，例如在软件定义的无线电、雷达处理和图形处理器中。