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「用Python来学微积分」8. 极限的概念

news 2025/10/23 9:54:01

极限理论是微积分的基石，它描述了函数在自变量特定变化趋势下的行为规律。本文将系统介绍六种自变量变化趋势，并通过严格的数学定义和Python示例帮助读者直观理解极限概念。

一、极限的基本思想与历史背景

极限概念的核心思想是"无限接近但永不达到"的动态过程。最初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立了微积分，但遇到了逻辑困难，后来在晚期都不同程度地接受了极限思想。

1.1 极限思想的演变

起初的极限观念建立在几何直观上，缺乏严格的表述。牛顿用"路程的改变量ΔS与时间的改变量Δt之比"表示运动物体的平均速度，让Δt无限趋近于零，得到物体的瞬时速度，并由此引出导数概念和微分学理论。

正因为当时缺乏严格的极限定义，微积分理论受到了人们的怀疑与攻击，这就是数学史上所说的无穷小悖论。英国哲学家贝克莱对微积分的攻击最为激烈，他说微积分的推导是"分明的诡辩"。

直到19世纪，柯西和魏尔斯特拉斯等人引入了ε-δ语言，才真正建立起分析学的严密基础。柯西把无穷小视为"以0为极限的变量"，这正确地确立了"无穷小"概念为"似零不是零却可以人为用等于0处理"的办法。

二、六种自变量变化趋势的严格定义

下面通过表格概括六种自变量变化趋势及其极限定义：

自变量趋势类型	数学符号表示	极限定义核心思想
x 趋向 $x_0$	$x→x_0$	x无限接近 $x_0$ ，但永远不等于 $x_0$ 的过程
x 从左侧趋向 $x_0$	$\to x_0^-$	x无限接近 $x_0$ ，但永远小于 $x_0$ 的过程
x 从右侧趋向 $x_0$	$\to x_0^+$	x无限接近 $x_0$ ，但永远大于 $x_0$ 的过程
x 趋向正无穷大	$\to +\infty$	x无限增大的过程，x的值可以大于任意指定的数
x 趋向负无穷大	$\to -\infty$	x无限减小的过程，x的值可以小于任意指定的数
x 趋向无穷大	$\to \infty$	x的绝对值\|x\|无限增大的过程，\|x\|的值可以大于任意指定的数

2.1 邻域与去心邻域的概念

定义： 设 $x0∈R,ε>0x_0 \in R,\varepsilon > 0$ ，则称集合 ${x∣∣x−x0∣<ε}\{x \mid |x-x_0| < \varepsilon \}$ 为 $x_0$ 的邻域，记作 $U(x0,ε)U(x_0,\varepsilon)$ ，即 $U(x0,ε)=(x0−ε,x0+ε)U(x_0,\varepsilon) = (x_0-\varepsilon, x_0 + \varepsilon)$ 。

集合 ${x∣0<∣x−x0∣<ε}\{x \mid 0 < |x-x_0| < \varepsilon \}$ 称为 $x_0$ 的去心邻域，记作 $U0(x0,ε)U^0(x_0,\varepsilon)$ ，即 $U0(x0,ε)=(x0−ε,x0)∪(x0,x0+ε)U^0(x_0,\varepsilon) = (x_0-\varepsilon,x_0) \cup (x_0,x_0 + \varepsilon)$ 。

邻域的概念是理解极限的基础，它描述了点 $x_0$ 附近的区域，而去心邻域则排除了点 $x_0$ 本身，这与极限考虑的是"接近但不等于"的思想一致。

三、函数在一点的极限与单侧极限

3.1 函数在 $\to x_0$ 时的极限

定义： 设函数 $f (x)$ 在 $x_0$ 的某去心邻域内有定义。若对于任意给定的正数 $ε\varepsilon$ ，总存在正数 $δ\delta$ ，使得当 $|x-x_0| < \delta$ 时，有 $\varepsilon$ 成立，则称函数 $f (x)$ 在 $x$ 趋向 $x_0$ 时有极限，称 $A$ 为函数 $f (x)$ 趋向 $x_0$ 时的极限，记作：

$lim⁡x→x0f(x)=A\lim_{x \to x_0} f(x) = A$

这一定义由柯西首先提出，后由魏尔斯特拉斯完善，称为极限的ε-δ定义。该定义的核心是：无论要求函数值多么接近极限值A（由ε控制），只要自变量x足够接近 $x_0$ （由δ控制），这个接近程度就能得到保证。

考虑函数 $\frac{x^2-4}{x-2}$ 在 $\to 2$ 时的极限。虽然在x=2处函数无定义（分母为零），但通过因式分解可简化函数为 $f (x) = x + 2$ （当 $\neq 2$ ），因此极限值为4。

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import sympy as sp# 设置中文字体
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei', 'DejaVu Sans']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False# 分析 f(x) = (x^2-4)/(x-2) 在 x->2 的极限
x = sp.symbols('x')
f = (x**2 - 4)/(x - 2)# 简化函数（x ≠ 2时等价）
f_simplified = sp.simplify(f)
print(f"简化后的函数: {f_simplified}")# 计算极限
limit_value = sp.limit(f, x, 2)
print(f"x->2时函数的极限: {limit_value}")# 可视化
x_vals = np.linspace(1, 3, 400)
x_vals = x_vals[x_vals != 2]  # 排除x=2
y_vals = (x_vals**2 - 4) / (x_vals - 2)plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(x_vals, y_vals, 'b-', linewidth=2, label=r'$f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$')
plt.plot(2, 4, 'ro', markersize=8, label='可去间断点')
plt.axhline(y=4, color='r', linestyle='--', alpha=0.7)
plt.axvline(x=2, color='r', linestyle='--', alpha=0.7)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.title('函数在x=2处的极限行为')
plt.legend()
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.show()

运行结果:

3.2 单侧极限及其重要性

单侧极限考虑自变量从特定方向接近 $x_0$ 时函数的行为，分为左极限 $x→x_0^-）$ 和右极限 $x→x_0^+）$ 。

数学表示：

左极限： $lim⁡x→x0−f(x)\lim \limits_{x \to x_0^-} f(x)$
右极限： $lim⁡x→x0+f(x)\lim \limits_{x \to x_0^+} f(x)$

定理： 函数在一点极限存在的充要条件是左右极限存在且相等。即： $lim⁡x→x0f(x)=A⟺lim⁡x→x0−f(x)=lim⁡x→x0+f(x)=A\lim_{x \to x_0} f(x) = A \iff \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = A$

分析分段函数 $\begin{cases} x+1, & x < 1 \\ 2x, & x \geq 1 \end{cases}$ 在 $\to 1$ 处的极限行为：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import sympy as sp# 定义符号变量
x = sp.Symbol('x')# 分析分段函数在x->1处的单侧极限
def piecewise_function(x_val):if x_val < 1:return x_val + 1else:return 2 * x_val# 计算左右极限
left_limit = sp.limit(x + 1, x, 1, dir='-')
right_limit = sp.limit(2*x, x, 1, dir='+')print(f"左极限: {left_limit}")
print(f"右极限: {right_limit}")
print(f"函数在x=1处的极限存在: {left_limit == right_limit}")# 可视化
x_vals_left = np.linspace(0, 0.999, 100)
x_vals_right = np.linspace(1.001, 2, 100)
y_vals_left = [piecewise_function(x) for x in x_vals_left]
y_vals_right = [piecewise_function(x) for x in x_vals_right]plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(x_vals_left, y_vals_left, 'b-', linewidth=2, label='左分支: x+1')
plt.plot(x_vals_right, y_vals_right, 'g-', linewidth=2, label='右分支: 2x')
plt.axvline(x=1, color='r', linestyle='--', alpha=0.7, label='x=1')
plt.plot(1, 2, 'ro', markersize=8)
plt.plot(1, 2, 'go', markersize=8)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.title('分段函数在x=1处的单侧极限')
plt.legend()
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.show()

执行结果:

四、函数在无穷远处的极限

4.1 无穷远极限的定义

设函数 $f (x)$ 在 $∣ x ∣$ 充分大时有定义， $A$ 是一个常数。若对于任意的正数 $ε\varepsilon$ ，总存在正数 $X$ ，使得对于满足 $∣ x ∣ > X$ 的所有 $x$ ，都有 $\varepsilon$ 成立，则函数 $f (x)$ 在 $\to \infty$ 时的极限是 $A$ ，记作：

$lim⁡x→∞f(x)=A\lim_{x \to \infty} f(x) = A$

类似地，可以定义 $\to +\infty$ 和 $\to -\infty$ 时的极限。

定理： 极限 $lim⁡x→∞f(x)=A\lim \limits_{x \to \infty} f(x) = A$ 存在的充分必要条件是：极限 $lim⁡x→+∞f(x)=A\lim \limits_{x \to +\infty} f(x) = A$ 与极限 $lim⁡x→−∞f(x)=A\lim \limits_{x \to -\infty} f(x) = A$ 均存在且相等。

4.2 无穷远极限的示例

以函数 $f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x}$ 为例，分析其在无穷远处的行为：

import numpy as np;
import matplotlib.pyplot as plt;
import sympy as sp;x = sp.Symbol('x')# 设置中文字体
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei', 'DejaVu Sans']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False# 分析函数在无穷远处的极限
def f(x):return 1/x# 计算极限
limit_plus_inf = sp.limit(1/x, x, sp.oo)
limit_minus_inf = sp.limit(1/x, x, -sp.oo)print(f"x->+∞时函数的极限: {limit_plus_inf}")
print(f"x->-∞时函数的极限: {limit_minus_inf}")# 可视化
x_vals_positive = np.linspace(1, 100, 400)
x_vals_negative = np.linspace(-100, -1, 400)
y_vals_positive = f(x_vals_positive)
y_vals_negative = f(x_vals_negative)plt.figure(figsize=(12, 5))plt.subplot(1, 2, 1)
plt.plot(x_vals_positive, y_vals_positive, 'b-', linewidth=2)
plt.axhline(y=0, color='r', linestyle='--', alpha=0.7, label='y=0')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.title('x→+∞时f(x)=1/x的极限')
plt.legend()
plt.grid(True, alpha=0.3)plt.subplot(1, 2, 2)
plt.plot(x_vals_negative, y_vals_negative, 'g-', linewidth=2)
plt.axhline(y=0, color='r', linestyle='--', alpha=0.7, label='y=0')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.title('x→-∞时f(x)=1/x的极限')
plt.legend()
plt.grid(True, alpha=0.3)plt.tight_layout()
plt.show()

运行结果:

五、数列的极限

5.1 数列极限的定义

数列可视为定义域为正整数的特殊函数，数列极限研究当项数 $n$ 无限增大时数列项 $a_n$ 的变化趋势。

定义： 对于数列 ${a_n\}$ ，如果存在常数 $L$ ，对于任意给定的 $ε>0\varepsilon > 0$ ，总存在正整数 $N$ ，使得当 $n > N$ 时，有 $∣an−L∣<ε|a_n - L| < \varepsilon$ 恒成立，则称数列 ${a_n\}$ 收敛于 $L$ ，记作：

$lim⁡n→∞an=L\lim_{n \to \infty} a_n = L$

这一定义称为数列极限的ε-N定义，是魏尔斯特拉斯在柯西基础上完善的严格定义。

当数列 ${a_n\}$ 存在极限时，则称 ${a_n\}$ 收敛；当数列 ${a_n\}$ 不存在极限时，则称 ${a_n\}$ 发散。

对于数列 ${a_n\}$ ，自变量只有一个变化趋势 $\to +\infty$ ，而且 n 不能取负数，这时 $\to +\infty$ 也简记为 $\to \infty$ 。

5.2 数列极限的示例与分析

考虑数列 $an=nn+1a_n = \frac{n}{n+1}$ ，分析其收敛性：

# 分析数列极限
n = sp.symbols('n', integer=True)
a_n = n/(n+1)# 计算数列极限
sequence_limit = sp.limit(a_n, n, sp.oo)
print(f"数列a_n = n/(n+1)的极限: {sequence_limit}")# 可视化数列收敛过程
n_vals = np.arange(1, 101)
a_n_vals = n_vals / (n_vals + 1)plt.figure(figsize=(12, 5))plt.subplot(1, 2, 1)
plt.plot(n_vals, a_n_vals, 'bo-', markersize=3, linewidth=1)
plt.axhline(y=1, color='r', linestyle='--', alpha=0.7, label='极限值y=1')
plt.xlabel('n')
plt.ylabel('a_n')
plt.title('数列a_n = n/(n+1)的收敛过程')
plt.legend()
plt.grid(True, alpha=0.3)# 展示收敛速度（误差随n增大而减小）
errors = np.abs(a_n_vals - 1)
plt.subplot(1, 2, 2)
plt.semilogy(n_vals, errors, 'ro-', markersize=3, linewidth=1)
plt.xlabel('n')
plt.ylabel('|a_n - 1| (对数尺度)')
plt.title('数列收敛速度（误差衰减）')
plt.grid(True, alpha=0.3)plt.tight_layout()
plt.show()