【11408学习记录】[特殊字符] ​​考研数学线性代数攻坚：正定二次型通关攻略+惯性定理核心突破​

数学

线性代数

惯性定理

无论选取什么样的可逆线性变换，将二次型化成标准型或规范型，其正项个数 $p$ 、负项个数 $q$ 都是不变的，$p$ 称为正惯性指数，$q$ 称为负惯性指数.

两个二次型（或实对称矩阵）合同的充要条件是有相同的正、负惯性指数，或有相同的秩及正（或负）惯性指数，或有相同的正、负特征值个数.

正定二次型及其判别

定义

n元二次型 $f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=x^{T}Ax$ ，若对任意的 $x=[x_1,x_2,\cdots ,x_n{]}^T\ne 0$ ，均有 $x^{T}Ax>0$ ，则称 $f$ 为正定二次型，称二次型的对应矩阵 $A$ 为**正定矩阵.

二次型正定的充要条件

n元二次型 $f=x^{T}Ax$ 正定 $\iff$ 对任意 $x\ne 0$ ，有 $x^{T}Ax>0$ （定义）

$\iff f$ 的正惯性指数 $p=n$

$\iff$ 存在可逆矩阵 $D$ ，使 $A=D^{T}D$

$\iff A=E$

$\iff A$ 的特征值 ${\lambda }_i>0(i=1,2,\cdots ,n)$

$\iff A$ 的全部顺序主子式均大于 0.

二次型正定的必要条件

1. $a_{ii}>0(i=1,2,\cdots ,n)$
2. $|A|>0$

英语

每日一句

A small but vocal group of Hawaiians and environmentalists have long viewed their presence as disrespect for sacred land and a painful reminder of the occupation of what was once a sovereign nation.​(2017, Reading Comprehension, Part A Text 2)

词汇

vocal: adj. 大声表达的，直言不讳的；口头的，有声的
environment: n. 环保人士，环境保护者
view …… as ……: 把……看作……
presence: n. 存在；出席，在场
disrespect: n. 不尊敬，无礼
respect: n. 尊敬，尊重；方面
sacred: adj. 神圣的；宗教的
reminder: n. 引起回忆的事物，提示物
occupation: n. 侵占，占领；工作，职业
sovereign: adj. 有主权的，独立自主的

第一步：找谓语

A small but vocal group of Hawaiians and environmentalists have long viewed their presence as disrespect for sacred land and a painful reminder of the occupation of what was once a sovereign nation.

第二步：断句

原句中存在2处谓语，包含2两件事，其谓语分别存在于以下位置：

• have viewed 为主句谓语
• was 为 what 引导的宾语从句谓语

按照标点、引导词以及谓语，可以将原句划分为以下分句：

• A small but vocal group of Hawaiians and environmentalists have long viewed their presence as disrespect for sacred land and a painful reminder of the occupation of —— 主句
• what was once a sovereign nation. —— 宾语从句

第三步：简化

主句

A small but vocal group of Hawaiians and environmentalists have long viewed their presence as disrespect for sacred land and a painful reminder of the occupation of

• 主句主语部分：A small but vocal group of Hawaiians and environmentalists
  • 不定冠词：a 修饰名词：group
  • 形容词：small 与形容词：vocal 通过并列连词：but 连接，组成并列结构，共同修饰名词：group
  • 名词：group 为主句主语核心词
  • 介词短语：of Hawaiians and environmentalists 为后置定语，修饰名词：group
    • 名词：Hawaiians 与名词：environmentalists 由并列连词：and 连接，构成并列结构，共同作为介词：of 的宾语
• 主句谓语部分：have long viewed 为及物动词的现在完成时态
  • 副词：long 修饰动词：have viewed
• 主句宾语部分：their presence
  • 限定词：their 修饰名词：presence
  • 名词：presence 为动词：have viewed 的宾语核心词
• 主句宾语补足语部分：as disrespect for sacred land and a painful reminder of the occupation of 为宾语：presence 的补足语，补充说明：presence
  • 介词短语：for sacred land 为后置定语，修饰名词：disrespect ，说明其具体对象
    • 过去分词：sacred 作形容词，修饰名词：land
    • 名词：land 为介词：for 的宾语
  • 不定冠词：a 修饰名词：reminder
  • 形容词：painful 修饰名词：reminder
  • 名词：reminder 与名词：disrespect 通过并列连词：and 连接，组成并列结构，共同作为宾语：presence 的宾语补足语
  • 介词短语：of the occupation of ……为后置定语，修饰名词：reminder
    • 定冠词：the 修饰名词：occupation
    • 名词：occupation 为介词：of 的宾语
    • 介词：of 后接宾语，组成介宾结构，作为名词：occupation 的后置定语

去掉主句扩展部分，就得到了主句核心：

• …… group …… have …… viewed …… presence as disrespect …… and …… reminder …… —— …… 团队 …… 已经将…… 存在视为不尊重…… 和 …… 提示物

宾语从句

what was once a sovereign nation.

• 从句引导词：what 引导宾语从句，作为介词：of 的宾语，共同作为名词：occupation 的后置定语
  • 引导词：what 在从句中作主语
• 从句谓语部分：was 为系动词，后接表语
• 从句表语部分：once a sovereign nation
  • 副词：once 修饰从句，说明从句的时间
  • 不定冠词：a 修饰名词：nation
  • 形容词：sovereign 修饰名词：nation
  • 名词：nation 为从句表语核心词

去掉从句扩展部分，就得到了从句核心：

• what was …… nation —— 是……国家