【课堂笔记】复变函数-5

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微积分基本定理

设$U\subset \mathbb{C}$是开集，$f,g:U\to \mathbb{C}$是连续的。假设存在$F:U\to \mathbb{C}$满足$\frac{\partial F}{\partial x}=f,\frac{\partial F}{\partial y}=g$。
令$\gamma :[a,b]\to U$是可求长曲线，则：
$${\int }_{\gamma }fdx+gdy=F(\gamma (b))-F(\gamma (a))$$

全纯性

$F$是可微的，且满足C-R方程，即
$$\frac{\partial F}{\partial x}=f,\frac{\partial F}{\partial y}=if$$
则$F$是全纯的

环绕数(winding number)

设$\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}$是闭曲线，设$w\notin \text{Im}\gamma$

定义1

设$u:[a,b]\to S^1$, 定义为：
$$u(t):=\frac{\gamma (t)-w}{|\gamma (t)-w|}$$
设$\pi :\mathbb{R}\to S^1,s\mapsto e^{2\pi i\cdot s}$，存在一个$u$的提升(lift)
$$\hat{u}:[a,b]\to \mathbb{R},\pi \circ \hat{u}=u$$

这样的提升$\hat{u}$不是唯一的，但总有$\widehat{u_1}-\widehat{u_2}\equiv l\in \mathbb{Z}$

定义2： 环绕数

定义环绕数为：
$$n(\gamma ,w):=\hat{u}(b)-\hat{u}(a)$$
它有以下性质：

• 总是整数：$n(\gamma ,w)\in \mathbb{Z}$
• 如果$w$在$\mathbb{C}\setminus \text{Im}\gamma$的连通区域上，则$n(\gamma ,w)$取值相同
• 设${\Omega }_{\infty }$是$\mathbb{C}\setminus \text{Im}\gamma$的未受限连通块，则$\forall w\in {\Omega }_{\infty },n(\gamma ,w)=0$

证明：
（1）因为$\gamma$是闭的，所以$$\begin{gathered} e^{2\pi i\hat{u}(b)}=e^{2\pi i\hat{u}(a)} \\ \hat{u}(b)-\hat{u}(a)\in \mathbb{Z} \end{gathered}$$
（2）对于固定的曲线$\gamma$，$n(\gamma ,\cdot ):\Omega \to \mathbb{Z}$是关于$w$的连续函数，
因为$\Omega$是连通的，于是$n(\gamma ,\cdot )$在$\mathbb{Z}$上是连通的，而这只能是一个点，$n(\gamma ,\cdot )$是个常值映射。
（3）对于$w\in {\Omega }_{\infty }$，当$|w|\to \infty$时，$n(\gamma ,w)\to 0$。因为$n(\gamma ,w)$是整数，所以必定为$0$。结合（2），对于整个连通块${\Omega }_{\infty }$上的$w$，都有$n(\gamma ,w)=0$

定义3：同伦

${\gamma }_0:[a,b]\to \mathbb{C},{\gamma }_1:[a,b]\to \mathbb{C}$，
同伦是一个连续映射$H:[a,b]\times [0,1]\to \mathbb{C}$，满足$H(t,0)={\gamma }_0(t),H(t,1)={\gamma }_1(t)$，
$\forall s\in [0,1]$, 定义${\gamma }_s(t):=H(t,s)$

定义4：简单连通的

$U\subset \mathbb{C}$被称为简单连通的(simply connected)，如果对任意曲线$\gamma \subset U$，都同伦于一个固定曲线。

命题5：环绕数的同伦不变性

设${\gamma }_0,{\gamma }_1:[a,b]\to \mathbb{C}$是两个闭曲线，设 H : [ a , b ] × [ 0 , 1 ] → C ∖ { w } H: [a, b] \times [0, 1] \to \mathbb{C} \setminus \set{w} H:[a,b]×[0,1]→C∖{w}是一个它们的同伦，则$n({\gamma }_0,w)=n({\gamma }_1,w)$

证明：设$U:[a,b]\times [0,1]\to S^1$，定义为：
$$U(t,s)=\frac{H(t,s)-w}{|H(t,s)-w|}$$
则$\exists \tilde{U}:[a,b]\times [0,1]\to \mathbb{R}$是连续的，且满足$\pi \circ \tilde{U}=U$。
然后$\forall s\in [0,1],n({\gamma }_s,w)=\tilde{U}(b,s)-\tilde{U}(a,s)$
因为$\tilde{U}$是连续的，则$n({\gamma }_s,w)$也是连续的，而$n({\gamma }_s,w)\in \mathbb{Z}$，所以$n({\gamma }_s,w)$是常值函数。
所以$n({\gamma }_0,w)=n({\gamma }_1,w)$

定理6：可求长曲线的环绕数公式

设$\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}$是可求长的，闭曲线，设$w\notin \text{Im}\gamma$，则有：$$n(\gamma ,w)=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\gamma }\frac{1}{z-w}dz$$
特殊的，若$w=0$，则：
$$n(\gamma ,0)=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\gamma }\frac{1}{z}dz$$
我们定义符号$\log z:=\log |z|+i\arg z$，它满足$(\log z{)}^{\prime }=1/z$
 

证明：假设$\gamma$是分段光滑的，考虑$h:[a,b]\to \mathbb{C}$：
$$h(t):=\frac{1}{2\pi i}{\int }_a^t\frac{{\gamma }^{\prime }(s)}{\gamma (s)-w}ds$$
则$h$也是分段光滑的，且
$$\begin{gathered} h^{\prime }(t)=\frac{1}{2\pi i}\frac{{\gamma }^{\prime }(t)}{\gamma (t)-w} \\ {\left[e^{-2\pi ih(t)}(\gamma (t)-w)\right]}^{\prime }=0 \end{gathered}$$
导数为0说明其中为常值，于是
$$e^{2\pi ih(t)}=\frac{\gamma (t)-w}{\gamma (a)-w},\forall t\in [a,b]$$
另一方面，令$\hat{u}:[a,b]\to \mathbb{R}$，满足：
$$e^{2\pi i\hat{u}(t)}=\frac{\gamma (t)-w}{|\gamma (t)-w|},\forall t\in [a,b]$$
定义$v(t):=\log |\gamma (t)-w|$，则转化成：
$$e^{2\pi i\hat{u}(t)+v(t)}=\gamma (t)-w$$
所以存在固定的$\alpha \in \mathbb{C}$，满足
$$2\pi ih(t)=2\pi i\hat{u}(t)+\alpha +v(t)$$
因为$v(b)=v(a),h(a)=0$，则：
$$n(\gamma ,w):=\hat{u}(b)-\hat{u}(a)=h(b)-h(a)=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\gamma }\frac{1}{z-w}dz$$

定义7：简单路径

设$\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}$是闭曲线，$\gamma$是简单路径，当$\forall t,s\in (a,b),\gamma (t)\ne \gamma (s)$

定理8： Jordan路径

设$\gamma$是简单闭路径，则$\mathbb{C}\setminus \text{Im}\gamma$有两个连通块。

引理9：Gaursat’s定理的一般化

设$R$是一个矩形，$E\subset R$是有限集，设$U$是一个开集，满足$\overline{R}\subset U$，设$f:U\setminus E\to \mathbb{C}$是全纯的，且满足：
$$\underset{z\to ϵ}{\lim }(z-ϵ)f(z)=0,\forall ϵ\in E$$
则：
$${\int }_{\partial R}fdz=0$$

推论10

设$D\subset \mathbb{C}$是一个圆盘，$E\subset D$是一个有限集，设$f:D\to \mathbb{C}$是连续的且在$D\setminus E$上是全纯的，且满足：
$$\underset{z\to ϵ}{\lim }(z-ϵ)f(z)=0,\forall ϵ\in E$$
设$\gamma$是$D$上的一个闭的、可求长的曲线，则有：
$${\int }_{\gamma }fdz=0$$

定理11：柯西积分定理

设$D\subset \mathbb{C}$是一个圆盘，设$f:D\to \mathbb{C}$是全纯的，$a\in D$，设$\gamma$是闭的、可求长的曲线，满足$a\notin \text{Im}\gamma$，则：
$$n(\gamma ,a)f(a)=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\gamma }\frac{f(z)}{z-a}dz$$

证明：定义函数 g : D ∖ { a } → C g: D\setminus \set{a} \to \mathbb{C} g:D∖{a}→C：
$$g(z):=\frac{f(z)-f(a)}{z-a}$$
$g$是全纯的。如果延拓到$D$，$g$可以是连续的。
由前面的推论可知，因为：
$$\underset{z\to a}{\lim }(z-a)g(z):=\underset{z\to a}{\lim }f(z)-f(a)=0$$
于是：
$${\int }_{\gamma }g(z)dz=0$$
这意味着：
$$n(\gamma ,a)f(a):=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\gamma }\frac{f(a)}{z-a}dz=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\gamma }\frac{f(z)}{z-a}dz$$

推论12

设$D\subset \mathbb{C}$是一个圆盘，设$f:\overline{D}\to \mathbb{C}$是一个全纯函数，则：
$$f(z)=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\partial D}\frac{f(w)}{w-z}dw,\forall z\in D$$

定理13

设$\gamma$是可求长曲线，设$\varphi :\text{Im}\gamma \to \mathbb{C}$是连续的，对$z\notin \text{Im}\gamma$，定义：
$$f(z):={\int }_{\gamma }\frac{\varphi (w)}{w-z}dw$$
则$\forall z_0\in \mathbb{C}\setminus \text{Im}\gamma$，设$r:=\text{dist}(z_0,\text{Im}\gamma )$，$f$是$D(z_0,r)$上的一个幂级数，
$$f(z)=\underset{n=0}{\sum ^{\infty }}\left({\int }_{\gamma }\frac{\varphi (w)}{(w-z_0{)}^n}dw\right)(z-z_0{)}^n$$
特别的，$f$在$\mathbb{C}\setminus \text{Im}\gamma$上是全纯的。

证明：固定$w\in \text{Im}\gamma$，考虑$z$的函数$\frac{\varphi (w)}{w-z}$，它在$D(z_0,r)$上有一个幂级数展开：
$$\frac{\varphi (w)}{w-z}=\frac{\varphi (w)}{w}\frac{1}{1-z/w}=\underset{n=0}{\sum ^{\infty }}\frac{\varphi (w)}{(w-z_0{)}^{n+1}}(z-z_0{)}^n$$
这里用到了展开：
$$\frac{1}{1-z}=1+z+z^2+...+z^n$$
定义$g_n:\text{Im}\gamma \to \mathbb{C}$为$w$的函数，
$$g_n(w):=\underset{k=0}{\sum ^n}\frac{\varphi (w)}{(w-z_0{)}^{k+1}}(z-z_0{)}^k$$
我们希望证明$g_n$一致收敛到$\frac{\varphi (w)}{w-z}$。设
$$\begin{gathered} M:=\underset{w\in \text{Im}\gamma }{\max }|\varphi (w)| \\ {r}^{\prime }:=|z-z_0|<r \end{gathered}$$
则：
$$\begin{array}{rl}\left|g_n(w)-\frac{\varphi (w)}{w-z}\right|& =\left|\underset{k=n}{\sum ^{\infty }}\frac{\varphi (w)}{(w-z_0{)}^{k+1}}(z-z_0{)}^k\right|\\ & \le M\underset{k=n}{\sum ^{\infty }}\left|\frac{(z-z_0{)}^k}{(w-z_0{)}^{k+1}}\right|\\ & \le M\underset{k=n+1}{\sum ^{\infty }}{\left(\frac{r^{\prime }}{r}\right)}^k\frac{1}{r^{\prime }}\end{array}$$
于是$g_n$一致收敛到$\frac{\varphi (w)}{w-z}$
通过积分换序，可得：
$$\begin{array}{rl}{\int }_{\gamma }\frac{\varphi (w)}{w-z}& =\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_{\gamma }{g}_n(w)dw\\ & =\underset{n\to \infty }{\lim }\left({\int }_{\gamma }\underset{k=0}{\sum ^n}\frac{\varphi (w)}{(w-z_0{)}^n}dw\cdot (z-z_0{)}^n\right)\\ & =\underset{k=0}{\sum ^{\infty }}\left({\int }_{\gamma }\frac{\varphi (w)}{(w-z_0{)}^n}dw\right)(z-z_0{)}^n\end{array}$$
这正是我们想要的幂级数形式