算法之贪心（简）
贪心算法（Greedy Algorithm）
贪心算法是一种局部最优导向的启发式算法，核心思想是：在每一步决策中，都选择当前状态下的最优解（局部最优），并期望通过一系列局部最优的选择，最终得到全局最优解。
需要注意的是，贪心算法并非适用于所有问题 —— 它的有效性依赖于问题是否具备「贪心选择性质」（局部最优决策能导出全局最优）和「最优子结构性质」（全局最优解包含子问题的最优解）。若问题不满足这两个性质，贪心算法可能只能得到近似解。
一、核心特性
1. 贪心选择性质
每次选择仅依赖当前局部信息，不回溯、不考虑未来决策的影响。例如，找零问题中，每次优先选面值最大的硬币，就是典型的局部最优选择。
2. 最优子结构性质
全局最优解可以通过一系列局部最优解的组合得到。例如，最短路径问题中，从起点到终点的最短路径，包含了路径上任意两个中间节点之间的最短路径。
3. 无后效性
一旦做出选择，就无法更改，后续决策仅基于当前的选择结果，不依赖之前未选择的路径。
二、算法步骤
- 问题分解：将原问题分解为多个相互独立的子问题（或步骤）。
- 局部最优选择：对每个子问题，选择当前状态下的最优解（需定义明确的 “最优” 标准，如最大、最小、代价最低等）。
- 合并结果：将所有局部最优解组合，形成原问题的最终解。
三、经典应用场景
1. 找零问题（硬币找零）
- 问题：给定不同面值的硬币（如 1 元、5 元、10 元、20 元），用最少的硬币数量凑出指定金额。
- 贪心策略：每次优先选择面值最大的硬币，直到凑出目标金额。
- 适用条件：硬币系统需满足 “贪心选择性质”（如人民币、美元的硬币系统）；若硬币面值特殊（如 1 元、3 元、4 元），贪心可能失效（例如凑 6 元：贪心选 4+1+1=3 枚，最优解是 3+3=2 枚）。
2. 活动选择问题
- 问题：给定多个互不重叠的活动（每个活动有开始时间和结束时间），选择最多的活动，使得它们互不冲突。
- 贪心策略：优先选择结束时间最早的活动，为后续活动预留更多时间。
- 示例：活动集合
[(1,4), (3,5), (0,6), (5,7), (3,9), (5,9), (6,10), (8,11), (8,12), (2,14), (12,16)]，最优解是选择(1,4), (5,7), (8,11), (12,16)，共 4 个活动。
3. 最小生成树（MST）
- 问题：带权连通无向图中，找到总权重最小的生成树（包含所有顶点，边数为 n-1，无环）。
- 贪心策略：
- Prim 算法：从起始顶点出发，每次选择连接 “已选顶点集” 和 “未选顶点集” 的权重最小的边。
- Kruskal 算法：按边权重升序排序，每次选择不形成环的权重最小边。
4. 单源最短路径（Dijkstra 算法）
- 问题：带权有向图中，找到从起点到其他所有顶点的最短路径（边权重非负）。
- 贪心策略：每次选择当前距离起点最近的未访问顶点，更新其邻接顶点的距离。
5. 哈夫曼编码（Huffman Coding）
- 问题：为字符设计前缀编码，使得总编码长度最短（压缩数据）。
- 贪心策略：每次选择出现频率最低的两个节点合并，生成新节点，重复直到形成一棵哈夫曼树，树的路径即为字符的编码（左 0 右 1 或反之）。
四、优缺点
优点
- 效率高：步骤简单，无需回溯，时间复杂度通常较低（如 O (n log n)，主要来自排序）。
- 实现简洁：逻辑直观，代码容易编写和维护。
缺点
- 局限性强：仅适用于具备 “贪心选择性质” 和 “最优子结构” 的问题，否则可能得到次优解。
- 无法回溯：一旦做出决策就无法更改，若局部最优选择导致后续陷入死局，无法调整。
五、代码示例（活动选择问题）
以 “选择最多不冲突活动” 为例，展示贪心算法的实现：
cpp
运行
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;// 活动结构体：开始时间start，结束时间end
struct Activity {int start;int end;
};// 排序规则：按结束时间升序排列
bool compare(const Activity& a, const Activity& b) {return a.end < b.end;
}// 贪心选择最多不冲突活动
vector<Activity> selectMaxActivities(vector<Activity>& activities) {vector<Activity> result;if (activities.empty()) return result;// 1. 按结束时间排序sort(activities.begin(), activities.end(), compare);// 2. 选择第一个活动（结束时间最早）result.push_back(activities[0]);int lastEnd = activities[0].end;// 3. 遍历后续活动，选择与上一个活动不冲突的（开始时间>=上一个结束时间）for (int i = 1; i < activities.size(); i++) {if (activities[i].start >= lastEnd) {result.push_back(activities[i]);lastEnd = activities[i].end;}}return result;
}int main() {vector<Activity> activities = {{1,4}, {3,5}, {0,6}, {5,7}, {3,9},{5,9}, {6,10}, {8,11}, {8,12}, {2,14}, {12,16}};vector<Activity> selected = selectMaxActivities(activities);cout << "选择的活动数量：" << selected.size() << endl;cout << "活动详情：" << endl;for (auto& act : selected) {cout << "(" << act.start << ", " << act.end << ")" << endl;}return 0;
}
输出结果
plaintext
选择的活动数量：4
活动详情：
(1, 4)
(5, 7)
(8, 11)
(12, 16)
六、贪心算法与其他算法的区别
1. 与动态规划的区别
- 贪心：局部最优导向，无回溯，适合子问题独立的场景。
- 动态规划：全局最优导向，通过存储子问题的最优解避免重复计算，适合子问题重叠、需要回溯的场景（如背包问题）。
2. 与回溯法的区别
- 贪心：不探索所有可能路径，仅选局部最优，效率高但可能非全局最优。
- 回溯法：探索所有可能路径，能找到全局最优，但时间复杂度高（如排列组合问题）。
总结
贪心算法是一种高效的启发式算法，核心是 “局部最优导出全局最优”。它适用于特定类型的问题（如活动选择、最小生成树、哈夫曼编码等），在工程实践中常用于追求高效解的场景。使用时需先验证问题是否具备贪心选择性质，否则需考虑动态规划、回溯法等其他算法。